Задача 14 (223 вар. Ларина)
Точки P и Q расположены на ребрах тетраэдра ABCD так, что P — середина AB, BQ : QC = 3 : 2. Через вершину D, точки P и Q проходит плоскость, пересекающая в точках X, Y и Z медианы граней ABC, BCD и ABD, соответственно, медианы проведены из точки B.
а) Докажите, что площади треугольников KMN и DPQ
относятся как 5 : 22.
б) Найдите отношение объемов тетраэдров CKMN и ABCD.
https://alexlarin.net/ege/2018/trvar223.pdf
Указания к решению
а) Рассмотрим △APD. DN : NP = 2 : 1. Почему?
Рассмотрим △CDQ. QM : MD = 3 : 5. Почему?
Рассмотрим △ABC. PK : KQ = 5 : 6. Почему?
Пусть площадь △DPQ равна 1. Тогда площади треугольников △PKN, △KQM и △MDN равны 5/33, 9/44 и 5/12 соответственно. Значит, площадь △KMN равна 5/22.
б) Пусть объем тетраэдра ABCD равен 1. Тогда объем тетраэдра BDPQ равен 3/10, объем CDPQ — 1/5, а объем CKMN — 1/22 (см. Задание 3).
Ответ: объемы тетраэдров CKMN и ABCD относятся как 1 : 22.