Сумма всех натуральных чисел равна ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ДРОБИ! Как это возможно?

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Про натуральные, целые и рациональные числа я уже писал в этом материале (кстати, еще есть статья про трансцендентные). Однако до этого момента мы, в основном, говорили о конкретных свойствах, позволяющих отнести число к какому-либо классу. Сегодня же мы проделаем что-то необычное: а именно сложим все натуральные числа и получим невероятный результат. Поехали!

Источник: http://www.uralstudent.ru/i/uploads/Article/2308550/p/thinkstockphotos-157230867.jpg

Постановка задачи

Итак, имеем бесконечный ряд натуральных чисел :

В первую очередь, чтобы найти его сумму необходимо каким-либо образом её обозначить. Пусть:

Строго говоря, это числовой ряд расходится (т.е. имеет бесконечную сумму), но не всё так однозначно!

Чтобы подобраться к вычислению, математики решили применить еще один известный числовой ряд - знакочередующийся, состоящий тоже из натуральных чисел:

Наша задача состоит в том, чтобы привести первый ряд к ряду второму. Для этого заметим, что четные члены рядов отличаются на определенную величину друг от друга:

Таким образом, два представленных ряда отличаются на величину:

Что как легко заметить, равняется ряду S, умноженному на четыре

Теперь делаем главное преобразование: вычитаем из S его учетверенное значение:

Второе замечательное преобразование начинается с того, что мы рассматриваем следующий ряд:

Это выражение вывел Эйлер

Как видно, если положить х=1, то мы получим тот же знакочередующийся ряд, который стоит справа в выражении выше.

Тогда имеем:

Таким образом, формальная математика показывает нам, что сумма натуральных чисел равняется отрицательному рациональному число! Полученный результат, конечно, расходится с житейским пониманием суммы, однако нашел своё применение в теории струн!

Кстати, вот еще пример совершенно безумной математической конструкции, которая, тем не менее, нашла своё практическое приложение!

*******************************************

Спасибо за прочтение! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

******************************************