Задача 14 (317 вар. Ларина)
В правильной треугольной призме АВСC₁В₁A₁ через точку M — середину ребра СС₁ — проведено сечение B₁DM.
а) Найдите, в каком отношении сечение делит объем призмы.
б) Найдите угол между плоскостями АВС и B₁DM, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.
https://alexlarin.net/ege/2020/trvar317.pdf
Решение
а) Проведем сечение MA₂B₂ (A₂ ∈ AA₁, B₂ ∈ BB₁) параллельно основаниям призмы.
Тогда A₂B₂ || AB, A₂B₂ || A₁B₁, A₂B₂ ⊥ AA₁ и A₂B₂ ⊥ BB₁. Почему?
Точка H (пересечение AB₁ и A₂B₂) — центр прямоугольника ABB₁A₁, середина AB₁ и середина A₂B₂. Почему?
Объемы тетраэдров MAA₂H и MB₁ B₁B₂ равны. Почему?
Значит, сечение B₁DM делит призму АВСC₁В₁A₁ на два равновеликих по объему многогранника.
б) Прямая HB₂ является проекцией секущей HB₁ на плоскость MA₂B₂. Почему?
Таким образом, искомый угол из условия задачи — это ∠B₁HB₂. Почему?
В условии задачи определены ребра призмы. Следовательно, в прямоугольном треугольнике △B₁HB₂ известны катеты: B₁B₂ = 1, HB₂ = 5/2.
tg∠B₁HB₂ = B₁B₂/HB₂ = 2/5.
Ответ: arctg 2/5.