Привет! Радую вас еще одним разбором уравнения с параметром. Уравнения выбрано из темы "расположение корней квадратного трехчлена". В статье будет представлена отличная рабочая схема анализа и решения для квадратных уравнений с параметром.
Бедные школьники. Смотрю на эти задания и прямо слезка проскальзывает. Как же вас мучают с этим ЕГЭ. Ни один балл за экзамен не стоит всех этих стараний, мучений, стресса и слез.
Лирическое отступление окончено. Давайте разберем еще один хороший, конкретный пример уравнения с параметром. Смотрим:
Вот такие уравнения с параметром самые классные и выигрышные. Как их отличить? Во-первых, прослеживается структура квадратного уравнения. Во-вторых, в вопросе будет либо 0 корней, либо 1 корень, либо 2 корня и более. Напоминает варианты дискриминанта, не так ли?
Ну хватит болтать и давайте смотреть, как решается уравнения.
Первый шаг. Сделаем замену, понятно какую, единственное, что здесь повторяется и подлежит замене - это 7 в степени модуль Х.
Делаем такую замену и задаемся вопросом, а почему Т именно такой. Сами посудите. Если Х будет равен 0, то выражение будет равно 1. Если Х будет просто целым числом больше или меньше 0, то по модулю это будет положительное число и 7 в такой степени будет только целым большим числом. Если Х будет дробным, то 7 будет находиться под каким-то корнем, а так как это число целое, то и корень из него будет целым положительным числом, да и явно больше 1. Поэтому именно такое ограничение стоит для Т.
Теперь проанализируем интервал, на котором мы задали Т. Если Т равно 1, то уравнение имеет единственный корень Х=0, что нас не устраивает, так как по условию должно быть корней 2. Если же Т будет больше 1, то корня будет всегда 2. Они будут находиться по общей схеме и всегда будут равняться:
Значит ответ нам нужно искать именно в этой области.
Второй шаг. После сделанной замены преобразуем уравнение и получим типичное квадратное уравнение:
Далее пойдет анализ с помощью дискриминанта. Если уравнение будет иметь 1 корень, то дискриминант будет равен 0, из этого получим сразу же 2 значения параметра. Проанализируем все полученное:
Отсюда мы получили один из вариантов ответа. Но есть еще второй случай, когда уравнение имеет два корня, но один из них меньше 1, что нам не подходит из условий замены. А второй корень должен быть больше единицы. Здесь уже так просто через дискриминант решить не получится. Нужно нарисовать приблизительный график функции и понять, как расположены корни уравнения:
Если сильно поднапрячься, то можно представить, что так выглядит график функции. Один корень больше 1, а другой меньше единицы. Нас интересует именно первый корень, который больше 1. Чем нам поможет этот график? На нем видно, что значение функции от 1 будет меньше 0, значит можно составить неравенство:
Ну и ответ получаем, соединив эти два выражения.
Спасибо, что дочитали до конца. Обязательно подписывайтесь, оставляйте комментарии под постом. Автор любит вашу активность! До новых встреч :)