Игральные кости --- это кубики. На гранях числа от 1 до 6, по традиции сумма противоположных граней равна 7. По-английски "кубики" --- dice, а в единственном числе тоже звучит жутковато: a die. Очень по-пиратски! Я расскажу вам сегодня, как Сильвер играл в кости в портовых кабачках.
У него было четыре кубика. Он предлагал противнику выбрать кубик, затем выбирал сам. Кубики кидали, и у кого больше очков выпало --- тот и выиграл. Пираты заподозрили, что один кубик сильнее других, но какой --- было непонятно. И ведь Сильвер давал выбирать кубик и не боялся почему-то, что противник заберет самый сильный!
Тогда четверо, пошептавшись, выбрали по кубику и сыграли с Сильвером по дюжине партий. И все проиграли! Непостижимым образом кубик Сильвера оказывался сильнее, причем пират с таким же кубиком проигрывал другому кубику. Такого не могло быть --- но ведь все видели!
На одном кубике было две шестерки и четыре двойки.
На втором --- три пятерки и три единицы.
На третьем --- два нуля и четыре четверки.
На четвертом --- все шесть граней были тройки.
Первый кубик сильнее второго: он выигрывает с вероятностью две трети. В самом деле, если выпала шестерка, то он уже победил (вероятность 2/6=1/3), а еще можно выиграть, если выпала четверка (4/6=2/3), а у противника --- единица (3/6=1/2). Кубики независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления двух событий получается умножением вероятностей. В итоге имеем 2/6 + 4/6*3/6 = 2/3.
Второй кубик сильнее третьего в том же смысле. Проверим: он выигрывает, если выпала пятерка (3/6=1/2) или если выпала единица (3/6=1/2) и у противника нуль (2/6=1/3). В итоге это 3/6+3/6*2/6 = 2/3.
Третий кубик сильнее четвертого. Он выигрывает, если выпала четверка, 4 шанса из 6: это опять 2/3.
Вроде бы четвертый кубик самый слабый; однако четвертый кубик сильнее первого! В самом деле, первый кубик проигрывает четвертому, если выпадает двойка: те же 4/6 = 2/3.
Со вторым кубиком четвертый на равных. Сравним первый и третий: первый выигрывает с вероятностью 2/6 + 4/6*2/6 = 5/9 > 1/2. То есть первый кубик чуть посильнее третьего.
Получается, что если Сильвера принудят выбирать кубик первым, но вероятности считать не умеют и его схему не запомнят, то ему стоит брать первый кубик.
Кроме того, иногда он может брать первый кубик против третьего, чтобы сбить пиратов с толку. По той же причине иногда можно брать второй против четвертого и наоборот: шансы равны, а не дать разгадать схему --- полезно.
Удивительным эту игру делает подсознательный перенос свойств отношения порядка на сравнение кубиков, которое не транзитивно. Обычно, если x>y, y>z, то x>z. А здесь "кубик сильнее" таким свойством не обладает! И не должен, если вдуматься.
Если один шахматист сильнее другого (выигрывает чаще), а тот сильнее третьего, то это не означает, что первый сильнее третьего! Тем более, если первый сильнее второго в шахматах, а второй сильнее третьего в стрельбе из лука.
Ссылки:
Секей Г. Парадоксы теории вероятности и математической статистики.