Давайте обсудим разные способы ввести в математику бесконечность. Сначала обсудим вопрос "зачем?". Затем, что это понятие в математике объективно есть! Натуральный ряд бесконечен, ряд простых чисел тоже, числовая ось мало того, что бесконечна, она бесконечна в самой малой своей части --- любой интервал бесконечен. Более того, бесконечность континуума --- отрезка или прямой --- "более бесконечна", чем счетная --- бесконечность натурального ряда.
Причем это всё --- не выдумки каких-то там математиков. Кантор вовсе не хотел, чтобы в квадрате было столько же точек, как на его стороне. Это объективно оказалось так, он это открыл, не поверил, перепроверил и удивился.
Конечно, можно придумать другие аксиомы и построить на них другую математику. Но она, если и не будет противоречивой, окажется беспомощной. Не будут работать неконструктивные доказательства. Вот пример.
Есть такая теорема Больцано о непрерывных функциях: если на отрезке функция непрерывна и на концах принимает значения разных знаков, она имеет нуль на этом отрезке. Очень полезная теорема. Нуль есть, но где --- не указано. Без полной числовой прямой работать она не будет.
Теперь поехали. Как можно ввести бесконечность в качестве "числа"?
Теория пределов
Теория пределов работает с последовательностями и бесконечно-малыми и бесконечно-большими величинами, которые, как и последовательности, являются "текучими", нефиксированными. Последовательность --- это числа с номерами. Можно взять число с любым номером, но не всю последовательность за раз. Бесконечно-большая величина --- это последовательность, члены которой растут, превосходя, рано или поздно, любое число. Бесконечно-малая --- последовательность, стремящаяся к нулю, то есть члены которой по модулю становятся меньше любого числа.
Тут такой диалоговый режим: скажи мне число, я укажу номер, начиная с которого все члены последовательности меньше твоего числа. Но сразу для всех --- нельзя указать, если последовательность с какого-то номера не становится чистым нулем.
Для функций все выражается через последовательности. Есть ещё эквивалентный (если аксиома выбора в игре) язык "эпсилон-дельта".
Можно формально ввести символы ∞ и -∞, которые означают "стремится к бесконечности". Для них можно ввести кое-какую арифметику, например x+∞=∞ и a∞=∞. Однако ∞-∞, 0∞, ∞/∞, 0/0 --- не определены. Соответствующий предел может оказаться равным чему угодно, или вообще не существовать.
Это несобственные числа.
На редкость дурацкий перевод слова improper!
Они позволяют удобно записывать "предел функции f в бесконечности" как f(∞).
Трансфинитные числа: ординальная арифметика
Это экзотика, хотя может применяться для доказательства вполне земных теорем. Равномощность множеств устанавливается по взаимно-однозначному соответствию; здесь же мы рассматриваем линейно упорядоченные множества (у которых любые два элемента сравнимы между собой) и взаимно-однозначное соответствие должно сохранять порядок.
Тогда, если мы добавим к натуральному ряду элемент w, который больше всех чисел, то это множество натуральному ряду уже не эквивалентно. Получается последовательность ординалов:
0, 1, 2, 3, ..., w, w+1,w+2,... 2w, ..., w^2, ...
Ординалы делятся не непредельные, у которых есть предыдущий, и предельные, у которых предыдущего нет. Зато последующий есть у всех.
Первый предельный ординал, он же первый бесконечный, это мощность натурального ряда. Самая маленькая бесконечность.
Ординалы можно складывать (мощность объединения), умножать (мощность прямого произведения) и возводить в степень (мощность множества функций из одного множества в другое). Но с обратными операциями --- проблема.
Вот пример, как это может сработать. Теорема Гудстейна утверждает сходимость к нулю следующей последовательности, начинающей с любого числа А. Записываем его в виде суммы степеней двойки, так же записываем показатели степеней, потом новые показатели, пока в записи не останется чисел больше двух. Заменяем везде двойку на тройку и вычитаем из числа единицу. Записываем число в виде суммы степеней тройки по тому же принципу. Далее повторяем процедуру: заменяем основание b на b+1, вычитаем единицу, переписываем число в виде суммы степеней (b+1); заменяем b на b+1.
Вот пример для A=3: 3 = 2+1 -> 3+1-1=3 -> 4-1=3 -> 3-1=2 -> 2-1=1 -> 1-1=0.
Уже для A=4 последовательность уходит в чудовищно большие числа. Но сходится к нулю.
Доказывается теорема проведением параллели между последовательностью Гудстейна и ее аналогом, где вместо двойки на первом шаге берется первый бесконечный ординал w. Последовательность ординалов строго убывающая, а таковая не может быть бесконечной. Поэтому и последовательность Гудстейна конечна, а кончиться она может только нулем.
Почему убывающая последовательность ординалов конечна? Потому что множество ординалов вполне упорядочено: у любого подмножества есть минимальный элемент. У бесконечной последовательности тоже, что противоречит монотонному убыванию.
Беря последовательность, мы вынуждены перепрыгивать через многоточия, пропуская бесконечно много ординалов. Например, начнем с 42w. Какой взять следующий, строго меньший? Как ни крути, пропустишь бесконечно много. Возьмем 41w+666. Ну, схема ясна.
Комплексная бесконечность
На комплескной плоскости бесконечность вводится естественно как единственное значение (числом его не назвать). Дело в том, что плоскость топологически эквивалентна (взаимно-однозначно, взаимно-непрерывно) сфере без одной точки.
Берем сферу, к полюсу строим касательную плоскость. Через другой полюс проводим прямые, которые отображают точки сферы на точки плоскости. Сам этот второй полюс --- это бесконечность. Это называется компактификация плоскости.
Если последовательность комплексных чисел растет модулю, она стремится к бесконечности, и не важно, в каком направлении.
Бесконечность может быть значением функции в точке, например, у 1/z в нуле. Функция может отображать бесконечность в какую-то точку, например, 1/z отображает ее в нуль.
Как же решается проблема с тем, что "в разные стороны" могут быть разные значения? Например, синус в бесконечности может не иметь предела, может стремиться к нулю, к бесконечности, к любому числу.
А дело в том, что в бесконечности у функции может быть:
- устранимая особая точка, если есть предел; пример 1/z или (z+1)/(z+2); в этом случае все понятно --- "во все стороны" один и тот же предел;
- полюс, если предел бесконечный; пример --- любой многочлен; тут тоже все ясно --- "во все стороны" неограниченный рост.
- существенно особая точка, в любой окрестности которой, как известно, функция принимает все значения (как синус) или все, кроме одного (как экспонента, которая нулю нигде не равна).
В этом смысле бесконечность --- такая же точка расширенной плоскости, как и любая другая.
Нестандартный анализ
Можно аксиомами ввести бесконечно-малые и бесконечно-большие числа и обходиться без пределов. С нестандартным анализом я не знаком даже поверхностно; знаю только, что он эквивалентен теории пределов, поэтому необходимости в нем не вижу.