Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
И снова героем моего материала становится выдающийся математик Леонард Эйлер. В одной из самых первых статей своего блога я рассказывал о самой красивой математической формуле, носящей его имя.
Однако, есть и еще одно замечательное выражение, сформулированное и доказанное Эйлером. Оно состоит всего из трех слагаемых, там нет комплексных чисел, корней, в ней вообще нет сложных математических конструкций, однако оно невероятно важно для понимания окружающего нас мира.
Это одно из основных понятий топологии - науки, изучающей топологические пространства ( вот вводная статья моего курса по этой математической дисциплине).
Эйлерова характеристика
Начнем сразу с формулы. На первый взгляд странный набор кириллических символов на самом деле означает следующее:
- Г - грани.
- Р - ребра.
- В - вершины.
Уважаемый читатель начинает догадываться, что речь идет о каком-то свойстве геометрических фигур. В первую очередь, наверняка, приходит на ум куб. Давайте посчитаем, сколько у него граней, ребер и вершин, а потом подставим их в формулу:
Итак, из рисунка видно, что у куба восемь вершин (В=8), 12 ребер (Р=12) и 6 граней (Г=6). Тогда Эйлерова характеристика куба равна
О чём нам это говорит? Да пока ни о чем. Предлагаю мысленный эксперимент: растяните основание куба и сделайте из квадрата - четырехугольник, деформируйте ребра, наклоните их под разными углами, сжимайте его и растягивайте как угодно . А теперь заново посчитайте эйлерову характеристику. Ничего не поменялось? Вы абсолютно правы, потому что Эйлерова характеристика - это гомотопический (и топологический) инвариант!
Идем дальше к неожиданному результату. Возьмем, например, треугольную пирамиду:
У пирамиды 4 грани, 4 вершины и 6 ребер, а Эйлерова характеристика тоже равна 2 (!!!).
Совпадение? Не думаю!
Вот еще подсчет Г, Р и В для выпуклых многогранников:
Как Вы уже догадались, эйлерова характеристика здесь тоже равна 2.
Резонный вопрос: а когда она равняется чему-нибудь другому? Легко, например, возьмем отрезок :
У него две вершины и одно ребро, а его Эйлерова характеристика равна 1.
А вот еще одна фигура:
Возникает вопрос: а как считать на сфере грани, ребра и вершины, если их нет. Неужели Эйлерова характеристика сферы равна 0 ? Конечно нет! Математики придумали некое обобщение и разбили сферу на клетки. Его определение выходит за рамки данного вводного материала, да и в конечном счете важен только результат:
С точностью до количества структурных элементов, Эйлерова характеристика сферы повторяет таковую для всех выпуклых многогранников в трехмерном пространстве!
Ну и напоследок еще один пример. На рисунке ниже изображен тор. Какова его Эйлерова характеристика?
Оказывается, его Эйлерова характеристика равна 0. Дело в том, что в торе в отличие от сферы есть дырка (а я уже писал, что дырки в топологии - самое важное). Для фигур с дырками Эйлерова характеристика рассчитывается таким образом:
Таким образом, Эйлерова характеристика позволяет нам удобным образом классифицировать как простые, так и очень сложные геометрические фигуры в пространствах произвольной размерности. Эта формула действительно изменила мир, потому что является фундаментом топологии - современной математической дисциплины, которая когда-нибудь позволит описать на языке математики всю Вселенную!
В следующем выпуске решим пару практических житейских задач, используя Эйлерову характеристику!
***************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************