Сегодня попробуем вникнуть в изречение Кронекера: "Натуральные числа создал Господь, а остальное --- дело человека".
С натуральными числами мы знакомимся с раннего детства. Это числа, выражающие количества: один, два, три, сорок два. Если строго, то они строятся на базе пустого множества: пустое множество это нуль, множество, содержащее только пустое --- единица, ну и далее: множество, изображающее число n+1, содержит все множества, от нуля до n.
В некоторых теориях натуральные числа строятся с единицы и нуль не включают. Я примыкаю к тем, кто считает нуль натуральным числом: это вполне себе количество!
На натуральных числах задают операции: пресловутые четыре действия. Сложение и умножение выполнимы всегда, а обратные к ним вычитание и деление --- отнюдь.
Чтобы вычитание всегда выполнялось, вводят отрицательные числа. Формально -n --- это такое число, что -n + n = 0. На них распространяются операции (единственным образом! Тут нет никакого произвола.) и целые числа доступны для работы. Решение уравнения по смыслу может быть положительным, а по факту --- отрицательным: ну, значит что-то пошло не так.
Часто отрицательных чисел избегают: бухгалтеры пишут приход и расход в разные колонки, историки вводят года "до нашей эры", физики оговаривают положительность коэффициентов. И это правильно, потому что инструмент для человека, а не наоборот.
Реальность отрицательных чисел обсуждать нет никакого смысла. Они есть как математическая абстракция, так же, как и натуральные числа. Одна селедка и один слон имеют общее в характеристике количества, но и только.
Кстати, в иврите "один" --- это прилагательное, и как таковое идет после существительного, а прочие числительные ставятся до. Потому что "один" --- это признак предмета.
Осязаемость отрицательным числам дают интерпретации, наполняющие их физическим смыслом. Например, долг удобно записывать как отрицательное число, или температуру ниже нуля, или заряд, противоположный положительному. Или уже упомянутые годы до НЭ. А работает это потому, что действия с этими величинами согласуются с правилами действий над числами. Взять в долг сто рублей, имея десять и отдать дважды по пятьдесят --- будет опять десять. То же с температурой, и с зарядом, и с датами.
Порой числа могут подумать за автора задачи. Например, отцу 60 лет, сыну 35. Когда отец станет вдвое старше сына? Обозначив число лет до этого славного момента за x, составим уравнение и получим x=-10. Десять лет назад это было.
Идем дальше. Деление тоже осуществимо не всегда, но можно ввести рациональные числа и тогда можно делить всё на всё (кроме нуля). Нуль обсудим позже. Рациональные числа вводятся аналогично отрицательным: 1/n --- это результат деления единицы на n, и главное --- согласовать операции. Это делается, все мы знаем как со школы.
Рациональные числа тоже имеют смысловую интерпретацию: дольки апельсина, разрезание тортика, размен денег.
Уравнение может решаться в дробях, но дробный ответ не имеет смысла: классические полтора землекопа.
Следующий шаг связан со степенями. Возводить натуральное число в натуральную же степень --- проблем нет, но вот обратные к степеням корни извлекаются не всегда. Вторая обратная к степени операция --- логарифм --- тоже. Даже в рациональных числах это невозможно. Приходится вводить идею непрерывности. О ней в другой раз, а пока рассмотрим еще одну проблему: корни четной степени из отрицательных чисел вообще невозможно извлечь. И логарифмы отрицательных чисел не существуют.
В самом деле, нет такого числа, которое в квадрате дало бы минус единицу. И степени, в которую надо возвести число два, например, чтобы получилась минус единица --- тоже нет.
По привычной уже схеме вводим число i, так что i^2=-1. И распространяем операции на комплексные числа вида a+bi. Это делается, и тоже единственным образом. Складываются комплексные числа по частям:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
Умножать тоже можно простым раскрытием скобок, но есть способ лучше. Обычные числа расположены на числовой оси --- прямой, на которой отмечены нуль и единица. Комплексные --- на плоскости: на ней две перпендикулярные оси, в точке пересечения нуль, на осях отмечены единица и i, а число a+bi --- это точка (a;b).
Числа вида bi называются мнимыми.
Можно записать число в полярных координатах, через расстояние до нуля (модуль) и угол между направление из нуля в точку, изображающую число, и положительным направлением вещественной оси. Этот угол называется аргумент числа и он --- аналог знака. У положительных чисел аргумент нуль, у отрицательных равен п, а у комплесных --- любой от 0 до 2п.
Функция arg(z) --- это аргумент от 0 до 2п, а Arg(z) --- многозначный аргумент, с учетом периодичности. Число z можно записать через его модуль |z| и аргумент arg(z) так:
z = |z|(cos arg(z) + i sin arg(z)).
Это тригонометрическая форма записи.
Ещё есть экспоненциальная форма, которая является определением возведения в мнимую степень: e^{ix} = cos(x) + i sin(x), или
z = |z|e^{i arg(z)}.
В этой форме удобно умножать числа и возводить в степень, а также вычислять логарифмы по любому основанию:
log(z) = log(|z|) + i arg(z).
Например, log(-1) = log(1) + iп = iп, а log(i) = log(|i|) + iп/2 = iп/2.
Через логарифм можно возвести в любую степень любое число:
i^i = e^{i ln(i)} = e^{-п/2}.
Когда-то меня удивляло, что мнимое число в мнимой степени --- вещественно. Потом привык.
Косинус определяется формулой cos(z) = (e^{iz}+e^{-iz})/2, имеет смысл для всех комплексных значений и принимает любые значения. синус тоже.
А вы думали, "в военное время значение синуса может превышать четыре" --- это такая шутка была?
Может возникнуть впечатление, что это лишь очередная ступенька, а для корнец четвертой, шестой, сорок второй степени понадобятся новые числа, а уж для логарифмов и других функций --- и подавно.
Но нет. Комплексная плоскость --- это естественное расширение числового поля. Всё. Там всё решается. Многочлен степени n, например, имеет всегда ровно n комплексных корней, которые могут повторяться.
У комплексных чисел нет простой физической интерпретации, и поэтому они выглядят какими-то нереальными, мнимыми. Но это иллюзия. Они так же реальны, как единица. Это неизбежный конец пути расширения числового поля, чтобы все операции были возможны и все уравнения решались.
Теперь поговорим о нуле и бесконечности. Некоторые операции делать все-таки нельзя: делить ненуль на нуль, делить нуль на нуль, брать логарифм от нуля и кое-что еще в том же духе. Некоторые уравнения не решаются, например 0x=1 или x+1=x.
Проблему можно частично решить, добавив число "бесконечность". Частично --- потому что нет хорошего способа это сделать. Что-то будет упущено. В частности, деление нуля на нуль никак не определить без противоречий. О разных способах введения бесконечности будет отдельная заметка.
Резюмируя, комплексная плоскость --- реальна так же, как и натуральные числа. Это конечное расширение числового поля, в котором осуществимы все операции, кроме тех что дают бесконечный или неопределенный результат. Оно единственно, и не является чьей-то выдумкой.