Формально отвечая на вопрос в заголовке — в каком-то смысле, звуков действительно 13. Когда мы говорим об октаве и гамме из восьми нот, мы имеем в виду только семь разных звуков. Но мы всегда добавляем восьмую тоническую ноту, когда играем гамму, потому что иначе гамма звучала бы незаконченно. В хроматической гамме мы теряем чувство тональности, и есть 12 различных нот, но хроматическая октава — это опять «лишняя» 13-я нота.
Теперь о причинах, по которым мы используем именно эти ноты, а не другие.
Если вы берёте вибрирующую струну или столб воздуха, у него (неё) есть некие «узлы» на 1/2, ⅓ его (её) длины и так далее (до бесконечности), которые своими колебаниями производят обертоны основной ноты. Первый обертон — это октава, второй — квинта (через октаву), и так далее.
Если вы будете бесконечно откладывать чистые «обертоновые» квинты, вы пройдёте 12 тонов, пока не вернётесь к чему-то довольно похожему, но не совсем тому же, с чего начали. Последовательность будет выглядеть так: C-G-D-A-E-B-F♯-C♯-G♯-D♯-A♯-E♯-B♯. Однако, разницы между B♯ и C в этой ситуации будет вполне достаточно, чтобы это звучало фальшиво, но в то же время — совершенно недостаточно, чтобы это звучало как две разных ноты.
Чтобы преодолеть это, музыканты и производители инструментов настраивают свои инструменты в «темперированной» настройке, где все квинты на пару центов «уже». Этого недостаточно, чтобы быть хоть сколько-нибудь заметным для большинства людей, и, конечно — это в пределах того, что звучит «в гармонии», то есть не фальшиво. Но самое главное, это означает, что теперь вы можете идти в любом направлении, и всё останется благозвучным, дав вам в результате 12 отдельных нот или хроматическую гамму из 13 нот, которая включает, в свою очередь, диатоническую гамму из 8 нот.
Вышесказанное справедливо для западной музыки. Если же вы построите свою гармоническую последовательность на каком-нибудь колокольчике, а не на струне или столбе воздуха, вы получите другие меры. Однако гармоники человеческого голоса — это гармоники колеблющегося столба воздуха.
Арабская музыка имеет 24 тона. На таком инструменте, как скрипка, вы можете сыграть любые «промежуточные» звуки, которые вам нравятся, а динамическая «бэндовая» или «блюзовая» нота также является такой «промежуточной» нотой.
В музыке «вообще», разумеется, можно использовать гораздо больше 12 тонов. Популярная в настоящее время 12-тоновая равномерная темперация была полностью принята на Западе всего несколько сотен лет назад (в XVIII веке) и до сих пор не является универсальной. Помимо множества национальных музыкальных систем, которые прекрасно звучат для ушей, выросших на них, существуют и другие системы темперации (например, 19, 31 и 53-тоновые).
Равномерно темперированный строй даёт огромные преимущества в области тональной музыки, позволяя безболезненно осуществлять модуляции, не получая при этом фальши (и, разумеется, позволяя неограниченно транспонировать музыку в произвольные тональности). С другой стороны, равномерно темперированный строй в определённом смысле «искусственный», и поэтому некоторые музыкальные философы называют темперацию даже «оскоплением музыки».
Современный темперированный 12-тоновый строй исторически развивался постепенно, поэтому невозможно определить его «изобретателя». Во времена И. С. Баха, по всей видимости, был распространён «хорошо» темперированный строй, который отличался от современного, но уже позволял сделать очень многое, что и был призван продемонстрировать сочинённый Бахом «Хорошо темперированный клавир».
Современный равномерно темперированный строй имеет формулу, по которой можно вычислить точные значения частот всех звуков, отталкиваясь от выбранной базовой частоты. Единственный музыкальный интервал равномерно темперированного строя, который в точности соответствует натуральному — это октава. Самый «фальшивый» музыкальный интервал равномерно темперированного строя — это малая терция (и его обращение — большая секста).