Как Сильвер в особую орлянку играл

Как играют в орлянку? Ставят на портрет короля либо на герб --- одну из сторон монеты. Выпала та сторона, на которую ставил --- выиграл. Нет --- проиграл. Игра безобидная --- шансы игроков при равных ставках равны.

Сильвер предложил другой вариант, который пираты сочли также безобидным. Моряк бросает монету до тех пор, пока не выпадет дважды подряд портрет короля, и запоминает номер броска, когда портрет выпал второй раз. Сильвер бросает монету, пока не выпадет портрет и сразу за ним --- герб короля. Или в обратном порядке. И запоминает номер броска.

Разница --- это выигрыш. Кто дольше монету кидал, тот платит тому, кто кидал меньше.

Пираты заметили, что Сильверу что-то слишком везет, и поняли, почему: серия портрет-герб и серия герб-портрет помогали Сильверу, а моряк ждал одной лишь серии портрет-портрет. Сильвер согласился ждать серии портрет-герб. Но все равно выигрывал! Этого пираты объяснить не смогли.

А мы сможем. Надо вычислить среднее число бросков до серии портрет-портрет (ПП). Это сложно сделать непосредственно, поэтому пойдем обходным путем. Вычислим среднее число бросков до серии ПП при условии, что первым броском уже выпал портрет; обозначим его Е(П). Если выпадет портрет, то всё, а если герб, то имеем среднее число бросков до ПП, начиная с герба: Е(Г). В итоге:

Е(П) = 1 + 0.5 + 0.5Е(Г).

Аналогично получаем

Е(Г) = 1 + 0.5Е(П) + 0.5Е(Г).

Действительно, один бросок уже записан, а далее --- либо герб выпал, либо портрет. Ну, и ждем.

Решая эту систему уравнений, получаем

Е(П) = 5, Е(Г) = 7.

Ну, а поскольку первый бросок, с равными шансами, дает герб или портрет, то среднее число бросков до ПП равно (5+7)/2 = 6. То есть, матрос в среднем кидает монету шесть раз.

А что же Сильвер?

Пусть S(П) и S(Г) --- аналогичные средние числа бросков до первой серии портрет-герб (ПГ) при условии, что первым уже был герб или портрет. Тогда уравнения будут немного другие:

S(П) = 1 + 0.5 + 0.5S(П),

S(Г) = 1 + 0.5S(Г) + 0.5S(П).

В самом деле, один ход уже сделан, если это портрет, то герб завершает серию, а если второй портрет --- то ждем, начиная с портрета. Аналогично для случая, когда первый ход --- герб.

Решаем систему:

S(П) = 3, S(Г) = 5.

Так что Сильвер в среднем бросает монету (3+5)/2 = 4 раза. Неудивительно, что он в выигрыше.

Давайте посчитаем, сколько ходов делал Сильвер поначалу, пока пираты не сообразили (они не такие уж тупые, кстати --- об этом скоро будет заметка).

Обозначим Н(П) и Н(Г) среднее число бросков до серии ПГ или ГП при заданном первом ходе. Уравнения однотипны:

Н(П) = 1 + 0.5 + 0.5(П), Н(Г) = 1 + 0.5 + 0.5(Г).

Так что Н(П) = Н(Г) = 3, и среднее число бросков тоже три.

Получается, что поначалу Сильвер в среднем брал с моряка по три монеты за игру. А когда они спохватились, стал брать две --- не так уж и лучше стало! А они думали, что игра безобидная, наивные.