Всем привет! продолжаем штудировать ЕГЭ по математике. На очереди у нас окружности и треугольники. Думал я, что будет легче, но глаза на лоб полезли. Давайте разбираться.
Сразу же небольшое обращение. Все примеры, решения и ответы вы можете найти на сайте РешуЕГЭ. Многие пишут в комментариях, что я просто слизываю решения с этого сайта. Это не совсем так. Я н отрицаю, что беру решения оттуда, но я стараюсь их максимально упростить, преподнести простым языком и объяснить все моменты, которые там не учтены. Часто я и свои методы решения показываю, так что не надо тут ругать меня :). А если я совершу ошибку, а вы её найдете, то сразу же пишите в комментарии, и я её исправлю. Ошибиться может каждый.
Ну теперь давайте разбирать задачку. Вот она кстати:
Сразу скажу, не пугайтесь условия. Оно страшное, но понять его можно. Прямые, содержащие катеты прямоугольного треугольника - это просто две пересекающиеся прямые, на которых отмечены отрезки катетов. Ну а остальное вроде как понятно. Нарисуем этого монстра.
Как видите, ничего страшного в нем нет. Обязательно обозначим все точки касания.
Часть А
Заметим, что касательные, которые провели к окружности из одной точки будут равны. Это свойство касательных, прогуглите, если не верите. Соответственно мы можем выделить три пары равных касательных:
СМ=СН, AM=AN, BH=BN. Тогда периметр треугольника АВС мы можем записать двумя способами. Сначала как он есть на самом деле, а потом заменить равные касательные:
Здесь мы получили после замены второе выражение, в котором отмеченные пары прямых можно сложить. Это видно, как по рисунку, так и по самому примеру. Далее замечаем, что AM=AN и продолжаем решение:
Так мы доказали первый пункт.
Часть Б
Для нахождения площади треугольника АВС запишем сложное преобразование. Для этого обозначим на рисунке центр окружности и проведем вспомогательные линии треугольников:
Осталось только понять, чему равна СМ. Из-за того, что угол МСВ прямой, а радиусы, проведенные в точку касания тоже будут образовывать прямые углы, мы получаем квадрат MCBO2. Соответственно искомая нами прямая СМ равна радиусу второй окружности, а площадь треугольника равна 2*4=8.
Спасибо, что дочитали до конца. Буду рад вашим комментариям :)