Давайте затронем вопрос о том, был ли у Всевышнего выбор. Иными словами, закон обратных квадратов, например --- мог ли быть другим?
Для этого надо вспомнить некоторые понятия из теории поля (не квантовой))) Скалярное поле --- это просто функция трех пространственных координат: число, заданное в каждой точке. Почему нужно придумывать новый термин для уже имеющегося понятия? Ну, во-первых иногда удобнее, а во-вторых, есть нюанс: поле не зависит от координат. Выберите другие координаты, особенно криволинейные, и функция изменит свой вид --- а поле-то то же самое.
Пример скалярного поля --- температура. В разных местах она может быть разная.
У скалярного поля, если оно гладкое, есть градиент. Это вектор, заданный в каждой точке --- векторное поле. Векторное поле можно трактовать как силовое --- вектор силы задан в каждой точке, или как поле скоростей жидкости --- в каждой точке задана скорость.
Вектор --- это величина и направление. Вообще же векторное поле не обязательно является градиентом какого-то скалярного. Для этого должно выполняться некоторое условие. Если векторное поле является градиентом некоторого скалярного (которое называется потенциалом), то поле потенциально.
Элементарная работа поля --- это скалярное произведение вектора на бесконечно малое перемещение. Скалярное произведение вообще --- это проекция вектора на вектор. То есть берем часть перемещения, которая вдоль вектора силы, и умножаем. Интеграл по кривой --- это работа.
Работа в потенциальном поле не зависит от пути и равна разности потенциалов на концах пути. Работа по замкнутому контуру равна нулю. Гравитационное поле --- потенциально. Поля скоростей жидкости обычно не потенциальны. В потенциальном поле определена потенциальная энергия.
Кстати, векторному полю можно сопоставить другое, именуемое ротором. В потенциальном поле ротор тождественно равен нулю. А для вращающейся жидкости ротор равен удвоенной угловой скорости (направление --- это ось вращения, величина --- собственно скорость), так что завихренность --- это антипод потенциальности.
Для векторного поля (представим его как скорость жидкости) можно определить поток через бесконечно-малый участок поверхности: умножим скалярно вектор на единичную нормаль к поверхности (нормаль --- это перпендикулярный вектор) и на площадь участка. Опять же, проекция на нормаль --- это направление через границу: то, что течет вдоль, не учитываем. Умножаем скорость на площадь границы --- получим объем в секунду. Это и есть поток жидкости через границу. Интеграл по поверхности дает полный поток.
Последнее определение. Дивергенция векторного поля --- это скалярное поле: для каждой точки построим шарик вокруг нее, вычислим поток через сферу, поделим на объем шарика. В пределе получим дивергенцию.
Смысл дивергенции --- мощность источников в точке. То, что протекло через сферу, должно было там возникнуть, то есть внутри сферы есть источник.
Если жидкость сжимаемая, то уменьшение плотности служит источником --- так получается уравнение неразрывности.
Отрицательный источник --- это сток. Для гравитационного поля источники --- это массы (ну, или распределение плотности).
Теперь рассмотрим материальную точку некоторой массы в начале координат. Звезду на значительном отдалении. Кстати, шар притягивает тела вне себя так, как точка той же массы в центре.
Поле тяготения такой точки
- потенциально;
- сферически-симметрично;
- бездивергентно.
Поясним. Потенциально --- понятно: оно есть градидент скалярного поля потенциала U(x,y,z) (который, с точностью до знака, есть потенциальная энергия). Симметрия --- тоже ясно: все направления равноправны, поэтому потенциал зависит только от расстояния до начала координат r: U(r). При этом r^2 = x^2 + y^2 + z^2.
С третьим пунктов оговорка: дивергенция равна нулю всюду, кроме начала координат --- потому что масса, порождающая поле, только там и есть.
Получается уравнение div grad U(r) = 0, r>0. По-русски, дивергенция градиента потенциала равна нулю. "Дивград" --- это оператор Лапласа, но это сейчас не существенно (про него будет отдельная заметка). Уравнение нетрудно решить, получив
U(r) = A + B/r.
Константа A особой роли не играет, потому что нас интересует разность потенциалов или его градиент. Но можно потребовать убывания потенциала до нуля в бесконечности, и тогда A=0.
Константа B определяется гравитационной постоянной и массой материальной точки; в подходящей системе единиц B=1.
Производная по x, например, дает -x/r^3, тогда градиент равен -R/r^3, где вектор R=(x,y,z). Вот вам и закон обратных квадратов.
...Что? Там куб? Так это вектор, вычислим его длину: |R|=r, так что получаем по величине силу 1/r^2, направленную в сторону начала координат (это про минус).
Резюмируем. Мы предположили следующее:
Поле симметрично, потенциально, бездивергентно.
И получили закон обратных квадратов! Вариантов нет.
Нарушить этот закон можно, только нарушив одно из предположений. А это жутко, потому что без симметрии в космосе есть какой-то абсолютный верх и низ; без потенциальности нет закона сохранения энергии; а с дивергенцией поле откуда-то берется или куда-то девается вдали от породившей его массы. В Общей теории относительности пространство искривлено и поля по существу нет. Как выкручиваются альтернативные теории --- не в курсе.