Немного сокращенный перевод статьи из QuantaMagazine — аналога нашего «Кванта»
В конце 15-го века Леонардо да Винчи сделал набросок летательного аппарата, напоминающего современный вертолет. Сегодня мы понимаем, что «винтокрыл» да Винчи сильно опередил свое время. Хотя устройство было слишком тяжелым для полета, сама идея была здравой, и в конце концов именно она позволяет летать современным вертолетам. Надо было только несколько веков подождать до создания нужной технологии.
Математики часто находятся в той же ситуации, что и да Винчи: у них большие мечты, но математические техники могут быть недостаточно развиты, чтобы их воплотить.
Например, многие считают, что современные математики имеют почти столько же шансов доказать гипотезу Римана — самая известная нерешенная задача современной математики — сколько было у да Винчи на создание машины, способной подняться в воздух.
Но есть "но": во времена да Винчи уже было ясно, что рабочего прототипа воздушного винта придется подождать, но можно дождаться, а вот в математике бывает не ясно, что возможно, а что нет.
Задача может казаться безнадежной, а тем временем решение ее — на поверхности, просто его никто не видит…
Здесь журнал Кванта приводит пример, но мне гораздо больше нравится другой: В 2019 году геронтолог Обри ди Грей продвинулся в решении задачи о хроматическом числе плоскости. Он вообще ни одной серьезной идеи не придумал, а только очень методично развил старые, но до него никто проделать этого не мог (или не хотел).
Так как же математики узнают: такую-то задачу невозможно решить современными методами или она просто слишком сложна? Четкого критерия не может быть, поэтому они должны полагаться на намеки. И самый большой намек на сложность задачи — сам факт, что многие люди не смогли ее решить.
Другой способ — найти похожую задачу. Если математики решили одну задачу, это повышает их уверенность в том, что они могут решить другую, чем-то похожую.
— Некоторые задачи естественно связаны друг с другом, и существуют техники перехода от одной к другой, — говорит Джеймс Мейнард из Оксфордского университета. — Если вы выяснили, как построить стол, вы можете обоснованно подозревать, что можете построить стул.
Но некоторые задачи совершенно непохожи ни на какие решенные задачи. Например, две из самых больших открытых задач в области теории чисел — это гипотеза о простых близнецах и гипотеза Гольдбаха. Они похожи друг на друга, но они также отличаются от всех других решенных задач.
Мейнард считает их парой островов — отдаленным архипелагом. Их удаленность от берегов математических знаний подразумевает, что для решения потребуется большое открытие.
— Чтобы пересечь океан, нужна грандиозная идея, — утверждает он.
Но сходство между гипотезой Гольдбаха и задачей о простых близнецах намекает, что они обе могут поддаться одной и той же идее. «Я уверен, что мы могли бы решить оба вопроса одновременно, даже если кажется, что они расположены далеко от тех островов, до которых мы можем добраться с помощью имеющихся математических приемов», — утверждает Мейнард.
Иногда математики понимают достаточно, чтобы осознавать, чего они еще не знают. Обе эти задачи — о простых числах. Пока в математике нет универсального метода определить, четно или нет число простых делителей некоторого числа. Эту задачу можно назвать «задачей о четности».
Хотя некоторые результаты есть и в этом направлении — в статье А.А.Карацубы, опубликованной уже после его смерти.
— Тут, конечно, легко ошибиться, но я действительно рассматриваю задачу четности как основное препятствие для доказательства гипотезы Гольдбаха или о простых близнецах. Если удастся ее решить, это станет первым шагом на пути к доказательству обеих гипотез, — сказал Мейнард.
В других случаях, однако, даже не ясно, как подступиться к решению задачи, — только очевидно, что математики не могут этого сделать. Такова гипотеза Римана. Это задача о распределении простых чисел, и она совершенно неприступна.
— Трудно даже предположить, как будет доказана гипотеза Римана, но я думаю, что важно признать, что мы пока этого не знаем, — сказал Кертис Макмаллен из Гарвардского университета.
Так вышло с самым знаменитым математическим результатом 21-го века — доказательством Перельманом в 2003 году гипотезы Пуанкаре. Задача состояла в том, чтобы выяснить, когда трехмерное многообразие эквивалентно трехмерной сфере. Гипотеза не поддавалась математикам целый век. Но в начале 1980-х годов Уильям Терстон поместил гипотезу Пуанкаре в более широкий теоретический ландшафт — и с этого момента математики начали открывать новые подходы к ней.
— Я думаю, что одна из причин, по которой задача не продвигалась, была не в том, что не было нужных методов, а в том, что задача не была сформулирована в правильных рамках, — говорит МакМаллен. — Новая постановка вопроса привела к новым методам.
Другими словами, если на новой карте вы увидите новый путь, вам может прийти в голову построить корабль.
Тем не менее, нет никакой гарантии, что задача вообще может быть решена. Например, существует гипотеза, что цифры числа π распределены равномерно, то есть что цифры от 0 до 9 с одинаковой частотой встречаются в его десятичной записи. Эксперименты подтверждают эту гипотезу, но математики не имеют ни малейшего представления, как это доказать, — может случиться так, что не смогут никогда.
К несчастью, многие гипотезы, касающиеся базовых математических явлений, включая фундаментальное поведение простых чисел, могут оказаться неразрешимыми.
— Существует огромное количество гипотез, которые могут быть истинными, но мы никогда не узнаем этого наверняка, потому что явления, которые мы наблюдаем, не имеют логического объяснения, — говорит МакМаллен. — Широкая публика может и не подозревать, что мы можем легко записать сотни математических задач, которые почти наверняка никогда не будут решены в течение следующей тысячи лет.
При таком положении дел математику нужно развить чувство того, какие проблемы он может решить, используя все доступные методы.
— Очень важно иметь высокоразвитую интуицию о том, как идеи сочетаются друг с другом и как можно комбинировать имеющиеся методы, — говорит Мейнард.
У него есть метод для развития такой интуиции: он специально выделяет время, чтобы напомнить себе, почему существующие методы не сработали в борьбе с самыми крупными нерешенным задачами в математике.
— Вечер пятницы я часто провожу, размышляя о попытках лобовых атак какой-то известной задачи, — говорит он. — Это конечно не так много, потому что я полагаю, что существуют и работающие способы решения задачи, но не так мало, потому для меня важно понять, где разумные методы не работают.
Конечно, даже самая развитая интуиция о том, что в математике возможно, будет упускать кое-что из виду, — может быть, даже многое. Лучшее свидетельство тому — наличие доказательств, которые неожиданно решают сложные вопросы с традиционными математическими инструментами.
Но иногда для математиков интуитивные представления — это иногда наилучший результат из возможных. В конце концов, это было, когда в начале 20-го века построили вертолет, это было серьезным достижением. Но представьте, как поэтично было бы, если бы технология создания такой машины была доступна да Винчи все это время.
— Потрясающе, что методы, которые математическое сообщество понимало довольно хорошо, вдруг оказываются более мощными, чем казалось, — сказал Мейнард.