Системы проходят в 8 классе, но уже в 6 появляются задачи, которые крайне удобно решать системой. К тому же олимпиады без таких задач зачастую не обходятся. Потому попробуем раскрыть эту тему как можно более просто.
Задача 1
Ручка и блокнот вместе стоят 25рублей, а 4ручки и 3 блокнота стоят 88рублей. Сколько рублей стоит ручка, и сколько блокнот?
Запишем то, что говорит нам задача:
1. Ручка и блокнот вместе стоят 25 руб.: р + б = 25
2. А 4 ручки и 3 блокнота стоят 88 руб.: 4р + 3б = 88
А теперь запишем эти два условия вместе, объединив значком системы:
Будем считать, что система показывает, что эти два условия выполняются одновременно, и одно не противоречит другому.
Теперь решим первое уравнение выразив ручку, или блокнот. Что именно, и через первое или второе уравнение вы захотите выразить не имеет значения, но старайтесь выбирать по простоте выражения. В нашем случае в первом уравнении нет коэффициента перед ручкой, и перед блокнотом, потому чтобы выразить, например, ручку, необходимо просто перенести блокнот через равно с противоположным знаком:
Теперь мы можем подставить вместо ручки во втором уравнении выражение, которое получилось и решить его отдельно (у нас ведь остался один неизвестный):
Это значит, что блокнот стоит 12 рублей. Теперь вернемся к системе, и посмотрим чему равна ручка: р = 25 – б. Подставим вместо блокнота его цену: р = 25 – 12 = 13 руб.
Ответ: блокнот – 12 руб., ручка – 13 руб.
Задача 2
Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг500г, а 4 утёнка и 3 гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит 1 гусёнок, и 1 утенок?
Запишем то, что говорит нам задача:
1. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг500г: 3у + 4г = 2кг 500г
2. А 4 утёнка и 3 гусёнка весят 2 кг 400 г: 4у + 3г = 2кг 400г
Для удобства переведем 2кг 500г в кг: 2 кг + 500г = 2 кг + 500:1000 кг = 2 + 0,5кг = 2,5 кг
То же самое для 2 кг 400 г: 2 кг + 400г = 2 кг + 400:1000 кг = 2 + 0,4кг = 2,4 кг
Составим систему :
Из первого уравнения выразим утенка, при этом не трогая второе уравнение:
Подставим во второе уравнение утенка из первого уравнения и решим отдельно:
Домножим все уравнение на 3 (каждое число умножим на 3 :
Значит гусенок весит 0,4 кг. Вернемся к системе, и посмотрим чему равен утенок:
Подставим вместо гусенка 0,4 кг:
Ответ: вес утенка – 0,3 кг; вес гусенка – 0,4кг
Задача 3
К празднику были срезаны розы: белых и розовых – 400 штук, розовых и красных – 300, белых и красных – 440. Сколько роз каждого цвета было срезано?
Запишем то, что говорит нам задача:
1. белых и розовых – 400 штук: б + р = 400
2. розовых и красных – 300: р + к = 300
3. белых и красных – 440: б + к = 440
Составим систему:
Выбираем любое уравнение (например, первое), и оставляем его в неизменном виде. В нем написано б+р. Значит из оставшихся двух уравнений будем выражать именно "б" и "р". Из второго выразим "р", так как "б" там просто нет. Из третьего "б":
Подставим в первое уравнение "р" и "б" из второго и третьего уравнения:
Красных роз срезали 170 шт. Вернемся к системе и узнаем сколько розовых роз было срезано:
р = 300 – к = 300 – 170 = 130 шт.
И белых:
б = 440 – к = 440 – 170 = 270 шт.
Ответ: белых – 270 шт, розовых – 130 шт, красных – 170 шт
Задача 4
2 ящика с печеньем имеют массу на 12 кг большую, а 3 ящика с пряниками-на 2 кг меньшую, чем один ящик с конфетами. Найдите массу ящика с конфетами, если ящик печенья и ящик пряников вместе имеют массу 14 кг.
Здесь важно понимать где подвох задачи. В одном предложении по сути спрятали 2. Первое: 2 ящика с печеньем имеют массу на 12 кг большую чем один ящик с конфетами. И второе: 3 ящика с пряниками имеют массу на 2 кг меньшую чем один ящик с конфетами.
Запишем то, что говорит нам задача:
1. 2 ящика с печеньем имеют массу на 12 кг большую чем один ящик с конфетами:
2п = к + 12
2. 3 ящика с пряниками имеют массу на 2 кг меньшую чем один ящик с конфетами:
3пр + 2 = к
3. ящик печенья и ящик пряников вместе имеют массу 14 кг:
п + пр = 14
Составим систему:
Выбираем любое уравнение (например, первое), и оставляем его в неизменном виде. В нем написано 2п = к + 12. Значит из оставшихся двух уравнений будем выражать именно «п» и «к». Во втором уравнении «к» уже и так найдено. Из третьего выразим «п»:
Подставим в первое уравнение «к» и «п» из второго и третьего уравнения:
Ящик с пряниками весит 2,8 кг. Вернемся к системе и выясним сколько весит ящик конфет, и ящик печенья:
к = 3пр + 2 = 3*2,8 + 2 = 10,4 кг
п = 14 – пр = 14 – 2,8 = 11,2 кг
Ответ: ящик конфет – 10,4 кг; печенья – 11,2 кг; пряников – 2,8 кг
Задача 5
Скутер за 3 часа преодолевает расстояние на 10км больше, а велосипедист за 4 часа на 50км меньшее, чем автомобиль за 1 час. Определите скорость автомобиля, если известно, что скутер за 1 час проходит на 25 км больше велосипеда.
И снова подвох. Два предложения в одном.
1. Скутер за 3 часа преодолевает расстояние на 10км больше чем автомобиль за 1 час
2. Велосипедист за 4 часа преодолевает расстояние на 50км меньшее чем автомобиль за 1 час
Запишем то, что говорит нам задача:
1. Скутер за 3 часа преодолевает расстояние на 10км больше чем автомобиль за 1 час:
Составим стандартную таблицу:
Приняли расстояние, которое пройдет автомобиль за 1 час за «а» км, тогда скутер за три часа проходит «а+10» км. Найдем скорость автомобиля и скутера по стандартным формулам (V = S:t):
Возьмем для системы скорость скутера: с = (а+10):3
2. Велосипедист за 4 часа преодолевает расстояние на 50км меньшее чем автомобиль за 1 час
Составим стандартную таблицу:
Приняли расстояние, которое пройдет автомобиль за 1 час за «а» км, тогда велосипедист за три часа проходит «а -50» км. Найдем скорость велосипедиста по стандартным формулам (V = S:t):
Возьмем для системы скорость велосипедиста: в = (а – 50):4
3. Скутер за 1 час проходит на 25 км больше велосипеда
По сути речь идет о скорости, так как 25 км скутер проезжает в час. А скорость — это именно сколько км в час едет средство передвижения. Значит скорость скутера = скорость велосипедиста + 25:
с = в + 25
Составим систему:
За основное возьмем третье уравнение и оставим его неизменным. Почему? По принципу простоты. В первых двух уравнениях уже выражены «с» и «в». Подставим вместо них выражения:
с = в + 25
(а+10):3 = (а – 50):4 + 25
Представим деление в виде дроби:
Найдем общий знаменатель:
Домножим все уравнение (каждое число) на 12:
Значит скорость автомобиля равна 110 км/ч. Вернемся к системе и узнаем скорость велосипедиста и скутера:
с = (а+10):3 = (110+10):3 = 120:3 = 40 км/ч
в = (а – 50):4 = (110-50):4 = 60:4 = 15 км/ч
Ответ: скорость автомобиля – 110 км/ч; скутера – 40 км/ч; велосипедиста – 15 км/ч.
Часть 2 с более сложными задачами здесь