Еще один сюрприз из области оснований математики. Как я уже рассказывал, существуют аксиоматические теории множеств, регламентирующие "правила игры". Потому что с "наивной" теорией далеко не уедешь --- либо полезут парадоксы, либо ничего не доказать.
Мы уже обсуждали гипотезу континуума: на отрезке может быть множество, которое несчетное, но и не континуум. А может и не быть. Это аксиома, ее можно принять, а можно не принимать, и проблем не будет. Отрезок как бы есть, вот он, но на нем есть такая "недоступная часть".
Вот другой сюрприз сходного толка. Одна из аксиом гласит, что на семействе непустых множеств может быть задана функция выбора, сопоставляющая множеству элемент из него. Очевидно, вроде бы: раз множества непусты, то в каждом есть элементы; один из них можно предъявить, так?
Так. Но это нельзя вывести из других аксиом. Правда, и опровергнуть нельзя --- показано на моделях. В одной модели все аксиомы выполнены, включая и аксиому выбора. В другой все, кроме нее.
Ну и ладно, скажете вы. Еще одна аксиома в системе, независимая от прочих. В чем проблема?
Проблема в том, что без аксиомы выбора, на остальных аксиомах, можно построить всю математику. Да, сходимость через окрестности и через эпсилон-дельта --- две разные сходимости, но выберем одну из них. Да, счетное объединение счетных множеств может не быть счетным, если мнжества заранее не пересчитаны --- ведь из множества нумераций нужно выбрать одну. Но везде, где нужно, пересчет известен...
И вот два математика построили на одних и тех же аксиомах математику. Один верит в аксиому выбора, другой --- нет. У них все пока одинаково: таблица умножения, геометрия Эвклида, дифференциальные уравнения, анализ, алгебра и число пи.
Однако первый, опираясь на аксиому выбора, строит много разных странных конструкций. Например, разбивает шар на конечное число непересекающихся множеств, из которых передвижением можно сложить два шара того же радиуса. Или строит неизмеримое по Лебегу множество. Да мало ли примеров!
Вот как строится неизмеримое множество на окружности. Назовем точки эквивалентными, если они совмещаются поворотом на рациональное число оборотов. Вся окружность разбивается на классы эквивалентных точек. Выберем по одной точке из класса: получится некоторое множество. Всевозможные рациональные повороты его дадут всю окружность. Пересекаться повернутые множества не будут. При поворотах мера (Лебега) меняться не должна. Стало быть, если мера нуль, счетное объединение будет иметь тоже меру нуль, а если мера больше нуля, то счетное объединение будет иметь бесконечную меру. А это объединение --- это окружность, и мера у нее положительная.
У другого ничего этого нет. Причем именно нет: можно установить, что в отсутствие аксиомы выбора по-другому существование этих объектов не доказывается.
Зато у второго есть семейство множеств, декартово произведение которых пусто. Тоже смахивает на парадокс.
Вопрос в том, куда это всё девается при отказе от аксиомы выбора. Исчезает? Вариант, но тогда на "вот она перед вами" вещественной прямой то есть, то нет каких-то множеств. И это никак не мешает нормальной жизни.
Вот решаете вы уравнение, у него множество решений на числовой прямой. Это множество никуда не исчезнет. Потому что если исчезнет, то аксиому выбора можно будет доказать.
Или не исчезает? Остается, но не считается множеством? Те же рассуждения.
Получается, что различные "патологии", устанавливаемые через аксиому выбора, лежат где-то "там". Есть они, нет их --- никак не мешает.
Это трудно понять. Но привыкнуть можно.