Наша жизнь полна неожиданностей. Мы знаем, что в ней много интересного и загадочного. Именно такими являются понятия «софизм» и «парадокс».
Наверное, каждый из нас слышал фразу «два умножить на два равно пяти» или другие противоречащие здравому смыслу высказывания. Таких примеров очень много. Это софизм, намеренное ложное утверждение, с целью запутать собеседника. Софизм – это некоторая головоломка, в которой кроется ошибка. Парадокс – это странное утверждение, расходящееся с общепринятым мнением, но в отличие от софизма, ошибка в нем допущена не намеренно. Парадоксы известны уже более двух тысяч лет.
При подготовке к внутри вузовской конференции мы нашли интересный парадокс. Сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Работа с рядами на бесконечности всегда достаточно «опасна». Разложение в ряд функции это некоторое приближение. Этот парадокс открыл Сринивас Рамануджан. Он доказал это несколькими способами.
В своей работе Рамануджан доказал, что «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1⁄12», используя два способа.
Он обратил внимание, что ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … похож на знакочередующийся натуральный ряд 1 − 2 + 3 − 4 + ….
Для того, чтобы привести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … к виду 1 − 2 + 3 − 4 + …, мы можем вычесть величину, которая выражается рядом 4 + 8 + 12 + 16 + …, который получается умножением исходного ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4.
Далее, можно заметить, что ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … является разложением в степенной ряд функции 1/(1+ x)2 при x, равном 1. Соответственно, Рамануджан заключает:
Поделив обе части на −3, получаем c = −1/12.
Второй способ доказательства основан на регуляризации дзета-функцией ζ(s).
Интересно, что значение −1/12 встречается в физике, это можно наблюдать в теории бозонных струн, при попытке рассчитать энергетические уровни струны. Регуляризацию натурального ряда используют при расчете эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве.
Ряд 1+2+3+4+… не единственный ряд «с парадоксами». Ряду Гранди метод суммирования Чезаро позволяет присвоить также конечное значение ½.
Сгруппируем члены данного ряда:
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
Или можно сгруппировать по-другому:
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
Таким образом, различной расстановкой скобок в ряде Гранди, можно получить в качестве суммы и 0, и 1. Используя методы работы со сходящимися геометрическими прогрессиями получим третье значение 0,5.
Этот парадокс, намеренная ошибка, заблуждение или реальный факт?
В статье «Ошибка Пифагора» , выдвигается математическая гипотеза, объясняющая причину появления парадоксов. Согласно полученным результатам все «ошибки» высшей математики «перекочевали» из фундаментальных основ математики древней античности.
Хочется закончить статью словами Аристотеля: «Бесконечность не существует актуально, как бесконечное тело или величина, воспринимаемая непосредственно органами чувств… Бесконечность существует потенциально, бесконечное проявляется в движении» . Он как будто предвидел проблемы актуальной бесконечности, но последующее развитие фундаментальной науки привело к появлению парадоксов в математике.
