Давайте обсудим, что получится, если заменить пятый постулат другим. Как я уже сообщал, это можно сделать только одним способом, или двумя, но с модификацией еще одной аксиомы.
Итак, пятый постулат --- это что через точку вне данной прямой можно провести одну и только одну прямую, не пересекающую данную. В формулировке Лобачевского таких прямых не менее двух. На сфере любые прямые пересекаются, но это нарушает другую аксиому --- что через две точки проходит одна и только одна прямая --- и поэтому эту аксиому приходится формулировать иначе: через любые две точки можно провести прямую (не обязательно одну), а через две достаточно близкие точки --- только одну.
Есть и другие геометрии, о которых я тоже потом расскажу.
Геометрия Лобачевского реализуется на некоторой мнимой сфере и потому является "зеркальным отражением" геометрии на обычной сфере. У обеих сфер есть радиус, задающий единицу длины. Поэтому длины на этих "плоскостях" можно выражать безразмерно --- относительно этого радиуса, то есть в форме углов. Например, теорема Пифагора на сфере имеет вид
cos(A)cos(B)=cos(C),
где A, B, C --- угловые меры катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Гипотенузой считается стороны напротив прямого угла, и не важно, что все три угла могут быть прямыми.
Да, углы треугольника --- это углы, и стороны --- это тоже углы. И да, если три угла равны, сами треугольники равны.
У Лобачевского та же теорема примет форму
cosh(A)cosh(B) = cosh(C),
где cosh --- гиперболический косинус (я ему посвящу особую заметку):
cosh(x) = 0.5(exp(x)+exp(-x)).
Обычная евклидова геометрия получается как предел при увеличении радиуса до бесконечности, как из сферической, так и из геометрии Лобачевского. В частности, если треугольник мал по сравнению с радиусом, то стороны A, B, C --- малы, и косинус можно приблизить по формуле Тейлора: cos(x) ~ 1 - 0.5x^2, откуда мгновенно получается обычная теорема Пифагора.
Теперь немного фактов. Врассыпку.
Сумма углов треугольника на сфере больше 180 градусов, и тем больше, чем больше площадь треугольника. На мнимой сфере --- меньше.
Треугольник с вершинами на полюсе и на экваторе имеет три прямых угла. Или два прямых, а один (у полюса) и того больше.
Замостить обычную плоскость одинаковыми правильными многоугольниками можно только квадратами, треугольниками и шестиугольниками любого размера. У Лобачевского --- любыми правильными многоугольниками, но конкретного размера (чтобы углы подошли).
У Лобачевского через точку вне данной прямой можно провести много прямых, не пересекающих данную; из них две, которые "предельно наклонены", называются параллельными. Поэтому говорить, что "можно провести хотя бы две параллельные" не верно, а "параллельные пересекаются" --- глупо.