Всем привет! С вами Никита, сегодня мы продолжим разбирать часть С2 профильного ЕГЭ по математике. И на очереди у нас снова угол, только теперь между скрещивающимися прямыми. Начнем разбирать!
Что нам здесь известно? Уже хорошо, что тетраэдр правильный и известная его сторона. Так же известно, что одна точка разбивает сторону на две равные части. Попытаемся разобраться.
Часть А:
Для начала нужно найти плоскость, которая требуется в первой части. Так как MF параллельна CL, то искомая нами плоскость - это MFD (по признаку параллельности прямой и плоскости).
Точка F делит, уже итак поделенную пополам сторону BA, еще раз пополам. Из этого будет следовать, что BF равна половине от половины AB или 1/4. Это нам и нужно было доказать.
Часть В:
Надо найти угол между двумя прямыми. Делать это мы уже умеем. Делаем проекцию стороны DM на основание тетраэдра и получаем треугольник DMF. Угол MFD и будет искомым углом. Для нахождения этого угла теорема Пифагора уже не поможет. Для этого нужно воспользоваться теоремой косинусов. Выразим сторону DF через теорему косинусов дважды: первый раз через треугольник DMF, второй раз через треугольник DBF. Зачем? Это нужно для того, чтобы приравнять два одинаковых выражения и выразить искомый угол:
Все значения нам известны, поэтому далее просто подставляем их и выражаем косинус искомого нами угла:
Таким образом мы практически полностью научились решать задание С2. Всем вам успехов!