Помните, как в начальной школе вам говорили, что из меньшего числа нельзя вычесть большее? И как весело вам было потом узнать, что вообще-то можно...
Затем вам говорили, что из отрицательных чисел квадратный корень не извлекается. А потом выяснилось, что вообще-то извлекается.
И да, 20 на 3 не делится ведь? Не делится! А в пятом классе научили делить.
Возникает вопрос: что вообще происходит? Школьная математика - обман? Как верить людям, которые скрывают от тебя правду много лет?! (Подставить любое подростково-конспирологическое восклицание.)
Давайте разбираться. И начнём с ключевого для математики понятия числа.
Когда в одиннадцатом классе начинается повторение, я люблю задать аудитории вопрос "Что такое число?" и насладиться произведённым эффектом. (Один раз я получила потрясающий ответ: "Ну как что? Например, 12 февраля..." Ради таких моментов следует преподавать, ей-богу.) Казалось бы, весь курс математики построен на работе с числами, но вот дать определение...
Разгадка проста: на этот вопрос нужно отвечать встречным вопросом "А какие именно числа вы имеете в виду?" Ибо числа бывают разные. И именно этим объясняются все мнимые противоречия.
Курс математики начальной школы имеет дело с натуральными числами и нулём. "Взрослое" определение натурального ряда достаточно трудоёмкое, но на базовом уровне достаточно понимать, что это числа, которые мы используем при счёте: 1, 2,...239,... Можно ли отнять от меньшего натурального числа большее натуральное число и получить в результате натуральное число? Нет, нельзя! Можно ли получить результат, не являющийся натуральным? Да, можно.
Собственно, ровно этот переход и происходит в шестом классе: детям рассказывают про целые числа: они состоят из нуля, всех натуральных чисел и всех чисел, противоположных натуральным, то есть, -1, -2,...-239,... В рамках целых чисел можно вычитать что угодно из чего угодно, результат будет целым. Но остаются проблемы с делением: разделить 10 на -2 и получить целый результат можно, а вот разделить 10 на 3 и получить целый результат уже нельзя.
И тут на помощь приходят рациональные числа: если грубо, то это все те числа, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. Тут-то и выясняется, что 10 очень даже делится на 3! И 3 на 10. И вообще что угодно на что угодно, кроме нуля. Казалось бы, все арифметические действия уже работают нормально, тут бы и остановиться. Но нет.
Последний рубеж, который берётся в школе - действительные числа. Их уже не определить так просто, но упрощённо можно сказать, что это все бесконечные десятичные дроби. В рамках действительных чисел можно вычитать что угодно из чего угодно, делить любое число на всё, кроме нуля, и извлекать корень любой степени из любого неотрицательного числа. Именно работе с действительными числами обучают школьников с 8 по 11 класс и проверяют соответствующие знания на выпускных экзаменах.
После чего первокурсникам всех технических и некоторых гуманитарных вузов открывают глаза на комплексные числа, в рамках которых существует корень из минус единицы, названный специальной буквой i, а значит, можно извлечь корень и из -4, и из -9 и т. д.
Неочевидное замечание про комплексные числа и корни
За всё хорошее надо платить, поэтому в рамках комплексных чисел исчезают понятия "больше" и "меньше". То есть, комплексные числа нельзя сравнивать друг с другом. В частности, из-за этого пропадает всякий резон в принципе говорить об "отрицательных" числах, поскольку понятие "отрицательный" означает "меньший нуля". Но если числа комплексные, то понятия "меньше" просто не существует. Поэтому на самом деле утверждение "в рамках комплексных чисел можно извлекать корни из отрицательных чисел" некорректно. Но так многие говорят, потому что, во-первых, звучит интригующе, а во-вторых, все понимают, что имеется в виду.
Есть ли ещё числа? Да, конечно. Как минимум кватернионы. Но до них доходят совсем редко.
Какие выводы можно сделать?
1. Нет универсального понятия "число". В рамках школьного (и вузовского) образования люди встречаются как минимум с четырьмя множествами чисел. Эти множества устроены по-разному и имеют разные ограничения. Никакого обмана в этом нет.
2. Учитель начальной школы, произносящий фразу "Из 3 нельзя вычесть 5", упускает окончание "оставаясь в рамках натуральных чисел". Стоит ли ему не лениться и произносить эту фразу? Наверное, несколько раз, - да. Хотя бы потому что многие дети уже зарабатывали -200 очков в какой-нибудь игрушке. Стоит ли произносить эту фразу постоянно? На мой взгляд, нет. Лишние однотипные уточнения мешают воспринимать тему. Особенно маленьким детям.
3. Более старшим детям надо бы явно указать на то, где происходит переход от одного типа чисел к другому и акцентировать на этом их внимание, это полезно и убирает ощущение обмана. Тем не менее, разбирая какое-нибудь большое неравенство с 10 или 11 классом я не буду каждый раз добавлять "в рамках действительных чисел" к своей фразе о том, что нужно не забыть про неотрицательность для подкоренного выражения. Это может быть важно для идеальной строгости рассуждения, но губительно для учёбного процесса. А я училка, у меня приоритеты.
А у вас было ощущение обмана в школе? Может, вам кажется, что учителя скрыли от вас что-то ещё? Давайте обсуждать!