Давайте поговорим об аксиоматическом методе. Пока на примере геометрии, а там как пойдет.
Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательства --- на базе аксиом потом доказываются другие утверждения и строится теория. Чтобы эта теория соотносилась с реальным миром, аксиомы не должны бы ему противоречить --- но это уже другая история. В математике от аксиом требуется только непротиворечивость.
Поэтому неправильно говорить "это аксиома", имея в виду "это очевидно". Совершенно разные вещи! "Это аксиома" --- значит, вы приняли это на веру и на этом строите свои рассуждения.
Постулат --- то же самое, что и аксиома. Аксиомы Эвклида всем знакомы (хотя никто их не помнит). Через две точки можно провести одну и только одну прямую, из трех точек на прямой одна лежит между двумя другими, и все в таком роде. Включая и пятый постулат Эвклида: через точку вне данной прямой можно провести одну и только одну прямую, не пересекающую данную.
Лобачевский построил свою геометрию на основе альтернативной аксиомы: что таких прямых не менее двух. Эта история хорошо известна. Отмечу только, что подвиг Лобачевского не в создании новой геометрии, которая не соответствует опыту, а в демонстрации, что аксиомы не даны свыше, а могут меняться, и можно рассматривать разные варианты, сравнивать и описывать реальность с разных точек зрения. Это потом ох как пригодилось!
Как я уже отметил, от аксиом требуется непротиворечивость, которую обычно нельзя установить на базе самих этих аксиом. Если противоречие есть, его можно найти, а если нет --- то никак. И вот хороший пример.
Что, если мы заменим пятый постулат на такой: любые две прямые пересекаются? Почему бы и не попробовать?
Потому что такая система аксиом противоречива, хоть это и не бросается в глаза. Из точки вне данной прямой опустим перпендикуляр на прямую, к нему построим свой перпендикуляр. Это можно сделать на базе других аксиом. Этот второй перпендикуляр --- прямая --- обязан пересекать данную прямую. Из-за симметрии точек пересечения будет две. Через две точки можно провести только одну прямую --- а у нас их две: исходная и от самый второй перпендикуляр.
Попытки опровергнуть Лобачевского вращались вокруг второго шага --- единственности. Но не получилось. Потом было установлено, что аксиома не противоречит остальным.
Как установить непротиворечивость? Построить модель, в которой все аксиомы выполнены. Моделей геометрии Лобачевского известно несколько. Например, открытый круг (без границы). Это модель плоскости. Точки круга --- точки, хорды --- прямые. Надо кое-что уточнить, про расстояния и т.п. --- но это делается. Все аксиомы выполняются, включая пятую в форме Лобачевского!
Теперь рассмотрим сферу. Прямыми можно объявить большие круги (геодезические) и строить сферическую геометрию. Правда, любые две прямые пересекаются. Поэтому аксиому про прямую через две точки надо модифицировать: через любые достаточно близкие точки можно провести ровно одну прямую. Далее все делается, и получается практически полезная сферическая геометрия, применяемая в навигации. Я о ней (и о геометрии Лобачевского) немного расскажу в другой раз.