Сколько же чудесных школьных лет уходит на решение задач с линейными уравнениями, а потом и с системами линейных уравнений! А задумываются ли школьники и те, кто проводит время с их тетрадками, сколько научной энергии вложено в эту проблему? Пожалуй, стоит приоткрыть завесу – вокруг чего столько шума и самое главное, как это вообще можно применить в жизни?
Что это такое?
Стоит только задать вопрос поисковику, как тут же выдается несколько страниц ссылок. В основном, это методы решения подобного класса задач. А чтобы немного освежить воспоминания, Википедия, как всегда, незаменима.
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система:
Совокупность всех Xi будет решением системы уравнений, если при подстановке всех Х в систему, равенства будут корректными. Сложно? Сразу проясним примером:
Это простейшая СЛАУ, где две неизвестных. Не стоит смущаться, если вместо Х появляются другие неизвестные, тут решением системы является пара {x,y}.
Для чего это?
Казалось бы, какая жизненная ситуация способна поставить нас перед необходимостью решения такой системы? Насколько известно, в первую очередь это задачи оптимизационного характера. Нужно выбрать несколько параметров так, чтобы это решение было самым лучшим. Системой задаются необходимые условия.
Например, на заводе изготавливают два вида продукции А и Б из одного сырья и известно несколько технологий. При каждой технологии из одного количества сырья получается разное количество А и Б.
А вот дальше уже наступает полет фантазии о том, какую цель нужно достичь при выборе технологии. Исходя из необходимости, можно получить любую систему уравнений.
Особое внимание задачам оптимизации уделяется при планировании логистических процессов. Есть грузы разного вида, твердые, жидкие, сыпучие, есть вагоны и цистерны и при перемещении всего этого нужно заработать как можно больше денег. От правильной постановки задачи зависит успех)
Как решают?
Возьмем простой пример:
В школе предлагают все это сводить к одному линейному уравнению с одним неизвестным. Для этого можно сложить оба уравнения так, чтобы исчезла одна неизвестная. Для большей наглядности уберем y, для этого умножим каждую часть первого уравнения на 2 и сложим со вторым уравнением:
Отсюда уже все очевидно, решение x=1, , а при подстановке во второе уравнение выясняем y=0. Для верности посмотрим, как это сделает Mathcad:
Теперь-то можно быть точно спокойным). Решение — это точка пересечения линейных функций. Если у линейных функций сравнять углы наклона, то очевидно, что они не пересекутся и в этом случае решения не будет. Далеко не всегда решение может существовать.
Графически это выглядит просто и очевидно только потому, что неизвестных в системе всего две. При увеличении количества неизвестных фантазия заканчивается и нам остается прибегнуть к какому-то более сложному и менее наглядному методу. А их набирается прямо-таки немалое количество. Все их можно классифицировать на прямые и итерационные методы.
Прямые методы позволяют найти точное решение системы. Итерационные методы позволяют получить решение в результате последовательных приближений.
Некоторые прямые методы:
- Разложение Холецкого или метод квадратных корней
Преимущество итерационных методов в том, что часто они позволяют найти решения с заранее заданной точностью. Суть этих методов состоит в последовательном приближении к точке решения.
Среди итерационных методов:
Где еще встречается?
СЛАУ применяется в экономике, физике, химии и прочих областях. Физики и химики, если есть тут такие, напишете, пожалуйста, как у вас это применяется?
Недавно наткнулся на использование СЛАУ в задаче расчёта фазированной антенной решетки. В двух словах не рассказать, как там приходят к такому красивому решению, лучше смотрите все сами.
************************************************************************
Канал, которому посвящено мое сегодняшнее промо - канал моего друга - специалиста не только в области фильтрации и приема сигналов, но и владеющего, помимо этого, широчайшим спектром знаний об IT-технологиях. На своем ДЗЕН-канале, а также на YouTube он простым языком объясняет не только многие моменты из мира компьютеров и электроники, но и ставит настоящие эксперименты!
Знаете как работает транзистор? Например, да. А сможете собрать из элементарных логических элементов регистр сдвига или даже МИКРОПРОЦЕССОР? Скорее всего - нет, хотя это очень просто. Тогда ПОДПИШИТЕСЬ на канал "IT. Как это работает?". Вопросы отпадут!
************************************************************************