Теория римановых пространств, чисто геометрическая, в общем-то, идеально подошла для Общей теории относительности, современной теории гравитации. Здесь я очень кратко и очень на пальцах расскажу об этой связи.
Для начала: ОТО --- это современная теория гравитации, подтвержденная наблюдениями с высокой точностью. Гугл в помощь --- материала на эту тему очень много и для любого уровня подготовки. Иногда пишут, что ОТО --- это не только про гравитацию, но в целом об ускоренных системах отсчета. Формально это так, но только формально. Если рассмотреть себя, сидящего в кресле, во вращающихся координатах, то формально придется ввести гравитационное поле, которое удерживает кресло на месте. Почему бы и нет.
Теперь вспомним, что такое геодезическая линия, проходящая из данной точки искривленной поверхности в данном направлении. Можно описать это понятие по-разному.
Это кривая, по которой параллельно перенесенный касательный вектор остается касательным.
Это кривая наименьшей возможной кривизны. То есть ее кривизна в объемлющем пространстве обусловлена кривизной самой поверхности. Это путь, при котором мы не поворачиваем относительно поверхности, по которой идем. Идем боком, спиной вперед --- без поворотов!
Если ввести понятие геодезической кривизны, кривизны относительно поверхности, то у геодезической она равна нулю.
Наконец, геодезическая является кратчайшим путем между двумя точками, если те достаточно близки межу собой. Так, экватор на сфере --- геодезическая, две точки на нем делят его на две дуги, покороче и подлиннее. Короткая --- кратчайший путь по сфере; длинная --- не кратчайший, даже локально.
Можно еще добавить, что геодезическая --- это стационарная кривая, то есть вариация длины равна нулю. Вариация --- аналог производной. Для коротких это минимум, для длинных --- просто нуль "производной".
Кривизна пространства --- это поворот вектора, обнесенного по замкнутому контуру параллельно (без поворотов). Если вы пройдете от полюса по меридиану до экватора, потом боком 10 тыс. км, потом спиной вперед на север до полюса --- окажется, что смотрите вы уже не туда, куда смотрели в начале пути. А ведь поворотов не было! Это и есть проявление кривизны.
В любом направлении из любой точки можно выпустить геодезическую. В искривленном пространстве это будет не прямая (прямых там вообще не будет). Так вот, ОТО утверждает, что распределение энергии в пространстве-времени искривляет его, а движение возможно только по геодезическим. И описывает математически эту связь.
Однако тут надо кое-что уточнить. В евклидовом пространстве (плоском) и римановом (искривленном) длина ненулевого вектора всегда положительна, как и расстояние между различными точками. В псевдоевклидовом (псевдоримановом) это не обязательно так.
Для точек псевдориманова пространства квадрат расстояния может быть положительным, отрицательным и равным нулю. В ОТО пространство-время четырехмерно, и квадрат "расстояния" (оно называется интервалом) задается как R^2 - c^2T^2, где R --- расстояние в пространстве, c --- скорость света, а T --- интервал времени.
Интервал одинаков для любых наблюдателей. Если квадрат его больше нуля, две точки в пространстве-времени --- два события --- называются пространственно-подобными. Между ними не может быть связи, потому что нельзя успеть попасть из одной точки пространства в другую за заданное время, двигаясь не быстрее света. Более того, с точки зрения разных наблюдателей эти события могут быть одновременными или не одновременными, причем одно может идти раньше другого или ннаоборот.
Если квадрат интервала меньше нуля, два события времени-подобны. Между ними может быть связь и одно всегда раньше другого, с точки зрения любого наблюдателя. Мнимый интервал никого не смущает --- поделите на мнимую единицу i и получите нечто вроде прошедшего времени (хотя события могут быть и в разных местах).
Если же квадрат интервала (и сам интервал) равен нулю, то события светоподобны. Связь между ними возможна со скоростью света.
Так вот, в ОТО движение возможно только по времени-подобным или светоподобным геодезическим! Если выпустить из точки всевозможные такие геодезические, они образуют световой конус. Это события, в прошлом и будущем, с которыми возможна причинно-следственная связь из "здесь и сейчас".
В плоском псевдоримановом пространстве (пространстве Минковского) этот конус --- и правда конус. Геодезические --- это прямые. Соответственно, рассматриваются только неускоренные движения, инерциальные системы отсчета.
В искривленном пространстве конус будет искажен. В случае сильного искривления, все геодезические в точке могут быть направлены в одну сторону. Это черная дыра: трубка в пространстве-времени, из которой невозможно выбраться, потому что геодезические направлены внутрь. Конечно, есть и те, что торчат наружу --- но они пространственно-подобны, по ним двигаться нельзя.
Аналогия с водой, утекающей в дыру, хороша. Вблизи дыры скорость течения равна скорости катера, и уплыть не получится. Все возможные траектории катера направлены к дырке.
Еще аналогия: ледяная горка. Если уклон больше предельного, вылезти не выйдет: все пути ведут вниз, какие-то быстрее, другие медленнее.
О черных дырах и еще об ОТО будут еще материалы. До встречи!