Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Внимание: важная информация перед прочтением!
Если Вы новичок в теории множеств, ознакомьтесь, пожалуйста, со следующими материалами канала:
- Часть 1. Изучаем топологию или почему человек - это шар с ручками?
- Часть 2. Определения множества и подмножества.
- Часть 3. Бинарные операции над множествами.
- Часть 4. Унарные операции над множествами
Перейдем к делу: в теории множеств у нас осталось совсем немного белых пятен, которые необходимо закрыть. Сегодня поговорим об удобном и наглядном представлении операций над множествами: диаграммами Эйлера-Венна, а также рассмотрим, как через них доказываются два ключевых закона логики - законы де Моргана. Поехали!
Диаграммы Эйлера-Венна
Эти диаграммы - отличный способ визуализировать операции над множествами, рассмотренные в этой и этой статье. Отдельные множества на этих диаграммах задаются кругами, а универсальное множество (здесь ооочень подробно о нём) - прямоугольником.
1. Дополнение множества.
2. Объединение множеств.
3. Пересечение множеств.
4. Разность множеств.
5. Симметричная разность множеств
На диаграммах Эйлера-Венна могут быть три и более окружностей. Очевидным их преимуществом является наглядность: например, вот так выглядит диаграмма пересечений букв русского, латинского и греческого алфавита.
Законы де Моргана
Несмотря на простоту, законы де Моргана применяются в физике, электротехнике и информатике. С их помощью оптимизируются схемы посредством замены одних логических элементов другими (кстати, вот канал моего товарища - на нём он неторопливо и вдумчиво рассказывает о современных технологиях, начиная с транзисторной логики и заканчивая прикладными приложениями). Эти законы пришли в теорию множеств из математической логики и изначально под А и B понимались не множества, а утверждения.
Суть первого закон де Моргана такова:
То есть: дополнение объединения множеств равно пересечению отдельных дополнений этих множеств (напомню, что когда говорим об операции дополнения множества А, подразумеваем разность U\A, где U - универсум (универсальное множество). Докажем первый закон де Моргана с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Закончили с левой частью закона, перейдем к правой:
Таким образом, мы пришли к одинаковым диаграммам двумя разными путями, т.е. доказали справедливость первого закона де Моргана. Второй закон де Моргана выглядит обратным первому:
То есть: дополнение пересечения множеств равно объединению отдельных дополнений этих множеств. Доказательство второго закона идентично первому: оставлю его любопытному читателю.
ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ! Этим Вы максимально мотивируете меня на создание интересного и познавательного контента. Ведь, если математика не для всех, то не значит, что она не для Вас конкретно! В теории множеств осталось рассмотреть только функционал отображения множеств, и пойдем дальше к изучению топологии.
Курс "Введение в математическую топологию"
- Часть 1. Изучаем топологию или почему человек - это шар с ручками?
- Часть 2. Определения множества и подмножества.
- Часть 3. Бинарные операции над множествами.
- Часть 4. Унарные операции над множествами
- Часть 5. Законы де Моргана и диаграммы Эйлера-Венна
Список материалов для начинающего математика:
- Зачем строителю египетский треугольник?
- Как считать на пальцах до 60 ?
- Самая красивая формула в мире математики.
- 2+2 =5 с точки зрения математики.
- Задачка про сосиски.
- Помните теорему Виета?
- Когда случайное не случайно: теорема Чебышева.
- Решаю ЕГЭ по математике (часть А).