Обычно я не берусь за разбор заданий по математике, но мимо этого пройти не получается. Точно так же, как и разборы по информатике, этот я сделаю основательно. Начну с формулировки из официальной демоверсии 2020 (актуальна на момент написания статьи):
В математике в демоверсии иногда предлагают несколько вариантов задания, и вот второй:
Прежде чем углубиться в решение самих заданий, заглянем в кодификатор и спецификацию:
В качестве спецификации я взял таблицу из аналитического отчёта ФИПИ за прошлый год. От таблицы спецификации этого года она отличается только указанием среднего процента выполнения заданий в 2019м году. И этот процент удивительно низкий, если учесть, что профиль выбирают не все подряд, а только уверенные в нём, а само задание базового уровня сложности на одну минуту. Заметьте: одна минута на то, чтобы прочитать задание, понять, выполнить, проверить, занести ответ в бланк. Следовательно, ответ должен быть прямо виден в самом задании. К сожалению, без малого 40% учеников, специально готовившихся к профильному ЕГЭ по математике, его не видят.
Посмотрите, как много элементов проверяется всего одним минутным заданием. Кто-то скажет: совсем обнаглели, давать минуту на решение задания по стольким разделам математики! Но те, кто реально знают, как построены задания ЕГЭ, сразу скажут: это значит, что задание ограничится определениями и парой базовых формул.
О теории
Я сразу скажу, что сейчас не буду объяснять, что такое функции, и как они работают, ибо это отдельный цикл статей (3.1 по кодификатору уровня подготовки). Для тех, кто за 7-11 классы так и не разобрался с ними, я в конце напишу про натаскивание.
Определений тут можно пересчитать по пальцам:
- производная,
- геометрический смысл производной,
- интеграл,
- первообразная,
- геометрический смысл интеграла.
Сразу скажу, что определения интеграла и производной в математике даётся через пределы, а считать пределы - это особая и долгая наука, в которой минутой не обойдёшься точно. Поэтому в задании математического определения не будет. Остаются лишь определения геометрического смысла интеграла и производной. А это уже легче, не так ли?
Геометрический смысл производной
Отбросив математические точности, повторю слова моего друга: Производная - это график графика.
То есть мы должны сделать кое-какие манипуляции с графиком функции, чтобы получить другой график другой функции. Все манипуляции в математике - это либо рисование, либо измерение, либо вычисление. Производная сложна тем, что надо выполнить все три типа манипуляций.
Шаг первый. Сначала к точке на графике пририсовываем касательную. Про неё я тоже как-нибудь напишу.
Касательная должна касаться кривой линии в одной указанной нам точке:
Шаг второй: измеряем угол между осью x и нарисованной касательной. Просто прикладываем транспортир:
Получили угол 120°. Не точно, конечно, это же измерения.
Шаг третий: вычисляем тангенс этого угла
Это число, что получилось (тоже с погрешностью) - и есть значение производной в той точке, которую я красным выделил. Кстати, если глянуть в альтернативное задание, то там именно это и спрашивают.
Но я угол измерял транспортиром, считал тангенс на калькуляторе, а на экзамене даже таблицами Брадиса нельзя пользоваться. Есть способ вычислить тангенс... тоже по определению. Определение
тангенс угла - отношение длины противолежащего катета прямоугольного треугольника к длине прилежащего.
Но вот незадача: это определение для углов до 90°, а у нас 120°. Формулы приведения нам в помощь (через круг) мы получаем, что нужно просто посчитать тангенс угла 60°. И второй шаг - у нас нет прямоугольного треугольника. Снова рисовать, измерять, вычислять. Снова все три.
Нам не зря в задании жиренько выделили две точки на касательной. Через них можно построить удобный треугольник с уголком в 60°:
Угол в 60° - справа. Тут даже больше, угол будет не примерно 60°, а ровно столько, сколько надо, ибо мы его уже не измеряем, а используем. Линейкой измерять тут нет необходимости, мы можем измерять в клеточках (в определении тангенса не сказано, какие единицы измерения выбирать). Противолежащий катет 7, прилежащий - 4. Делить на 4 очень легко, достаточно дважды поделить пополам: 7 -> 3,5 -> 1,75*. Да, не забываем, что нам-то был нужен тангенс 120°. А это минус тангенс 60.
Ответ: -1,75
Смотрите, измеряя угол мы получили совсем другое число, это всё от того, что на картинке не выдержан вертикальный и горизонтальный масштаб. Правильнее измерять по клеточкам. (почему так, я не буду уточнять, но это так)
Сейчас если мы посмотрим на первый вариант задания, то здесь можно обойтись тем же определением. В первом тоже спрашивается производная, но не в одной точке, а в нескольких. Если мы будем вычислять честно, то потратим уйму времени. Однако, там спрашивают только знак производной.
Если так, то опять надо ориентироваться на угол между осью х и касательной. Угол больше 90° даст отрицательный тангенс, меньше - положительный. Рисуем 9 касательных и смотрим, сколько раз она "тупит":
Можно даже не рисовать, а просто прикладывать другой лист. Всё равно видно будет - "плюс" или "минус". Однако во время тренировок я рекомендую честно считать производную до числа, пользуясь клеточками и транспортиром. И уже потом смотреть, какой знак.
Ответ: 4
Писать и читать об этом задании долго. Но после маленькой тренировки все эти манипуляции с определениями великолепно выполняются в уме за время куда меньше минуты.
Дополнительные алгоритмы
Если работа с хотя бы одним объектом из перечисленного у вас вызывает трудности, то задача не решится, или решится неправильно. Пропустили тригонометрию - делать тут нечего. Не умеете делить - досвидос.
Единственное, что можно сделать в таком случае, это "натаскаться" на задание. Но в таком случае, время работы существенно возрастёт, возможно, до пяти минут. Для натаскивания пойдут алгоритмы, описанные во многих видео, я их сюда не буду включать. Разве что такое мнемоническое правило дам, которого ни у кого не слышал.
Надо взять лист бумаги, закрыть им картинку и потихоньку открывать в сторону оси x (вправо). При этом надо внимательно смотреть на движение края графика функции, который появляется.
Там, где точка движется вверх, производная положительна, там, где вниз - отрицательна.
Заключение.
По такому "маленькому" заданию, оказывается, проверяется чуть ли не вся математика. При чём не знания, а именно понимание, умение использовать определения. И именно этому надо учиться, и эта статья направлена именно на использование определения. Конечно, я не затронул тут формульные задания (в которых функции заданы не графиками, а формулами), не коснулся интегралов. Но там работает аналогичный подход, и можно особо не заморачиваться. Но если эта статья наберёт достаточно просмотров, я разберу и интегралы, и формульные задания.
