Привет! Никита на связи. И сейчас мы начнем разбирать задание С2 по профильной математике. Задача по геометрии всегда бывает сложной для учеников. Не буду греха таить, я сам, когда готовлю своих учеников к ЕГЭ, если им не нужно 100% набрать 100 баллов, то я не даю им задачи по геометрии. Но сейчас совсем другая ситуация, у нас собрана разношерстная аудитория, кому-то может нужно именно объяснение задачи С2. Начнем разбирать эту часть :)
Сначала мы будем разбирать задачу "расстояние между прямыми и плоскостями". Ну что же нужно вспомнить? Наименьшее расстояние - это перпендикуляр. Надеюсь со знанием этого факта и всех формул для треугольников мы сможем решить задачку .Можно заметить, что в данной задачке встречаются пирамиды, призмы и кубы. Это первое, что я подметил, когда разбирал задачки. Возьмем первую:
Здесь нужно доказать и найти. Как же это грустно. Очень не люблю геометрию. Пирамида четырехугольная и правильная, значит в основание квадрат с известной стороной. Также известная высота пирамиды - это уже отлично. Еще известна какая-то странная пирамида, которую я не могу представить себе, может быть рисунок такой плохой сделали, может я тупой. Ну сами смотрите:
Чтобы доказать, что точка Т является серединой SM для начала нужно доказать, что точка T вообще лежит на SM. Как сделаем это? Можно сказать, что из-за того, что NM построена на серединах сторон, отрезки MB, MA, ND, NC равны. Расстояния TD и TC тоже будут равными, так как треугольник SDC равнобедренный, M - середина, а по условию NT - это вообще высота, которая при таких условиях падает на сторону SM. Из этого можно вынести, что точки Н и Т лежат как минимум в одной плоскости SNM, которая перпендикулярна ABC.
По Пифагору можем найти, что АН равна корню из 6. Далее, из другого прямоугольного треугольника найдем, что AS равна корню из 15, при этом помним, что MN равна обычной стороне квадрата. Дальше из любого прямоугольного треугольника найдем, что SM равна 2 корня из 3:
Из этого всего делаем вывод, что треугольник SNM равносторонний, а NT - его высота. В таких треугольниках высота является медианой и биссектрисой. Значит мы доказали, что T середина SM.
Перейдем ко второй части. Здесь нужно найти расстояние между двумя прямыми. Как известно и сказано было выше, это будет перпендикуляр. Для лучшего понимания я советую нарисовать треугольник отдельно от пирамиды, чтобы было видно нагляднее:
Возникает вопрос, что здесь делать? В первой части все решалось бы через родного Пифагора, но не тут-то было. Здесь решаем через подобие. Треугольники TES и SMC подобны. Значит ET/MC как ST/SC. Из этой пропорции составляем выражение для искомого ET= (ST*CM)/SC. Заменим стороны ST и CM на аналогичные им SM и CD, которые в два раза больше каждая. Тогда получим выражение и найдем сторону:
Получили второй ответ. Фух, сложновато было, но мы справились. Дам общий совет: сначала делайте хороший рисунок, потом находите все что можете, все что помните, подписывайте это на рисунке, может быть что-то новое еще и увидите для себя. Не бойтесь делать отдельные рисунки, так как на ваших может уже не быть живого места. Всегда, ВСЕГДА находите все, что можете, даже если это не нужно в задачке - это натолкнет вас на идеи :).