Должна признаться, был у меня период в работе, когда, рассказывая детям про смешанные числа, я говорила: "Это сложная тема, но не переживайте, если вы не очень хорошо ей понимаете, в дальнейшем мы редко будем их использовать".
Несколько секунд, чтобы побросаться в меня камнями.
Если ваш праведный гнев немного утих, позвольте мне объяснить мою позицию.
Самое неприятное в смешанных числах это опущенный знак плюс. Поднимите руку, кто помнит, что между целой и дробной частью стоит плюс? Вот именно, знак умножения можно опустить, всё равно эта точка постоянно теряется, но взять и в единственном месте перестать писать знак плюс? Подстава.
И если эту мысль не удалось донести до ребенка, то дальше бессмысленно пытаться объяснять ему действия со смешанными числами. Почему мы может складывать отдельно целую и дробную часть? Потому что сложение обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Точно! Ведь там опущен знак плюс. А умножать и делить смешанные числа вообще нельзя, их нужно переводить в неправильные дроби. И это правило перевода - нахождение делимого по делителю, неполному частному и остатку. Помните, да? Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток. Так мы находим числитель дроби. И здесь вылезает это: "прибавить". Почему прибавить? А потому что целая часть складывается с дробной.
Но самое ужасное это вычитание. Иногда возникает желание забить на всё и сказать переводите в неправильные дроби и вычитайте. Но нельзя. Во-первых, это усложняет вычисления, а во-вторых, есть одна вещь, которая оправдывает (на мой взгляд) наличие смешанных чисел в школьном курсе.
Давайте сначала посмотрим на алгоритм вычитания смешанных чисел, чтобы освежить его в памяти.
На первый взгляд может выглядеть сложно, но этот способ требует меньше всего операций. Мне кажется, дети терпеть не могут этот прием. По крайней мере, у меня так. Кстати, поделитесь в комментариях, как вы объясняете эту тему детям, устроим обмен опытом.
Так почему же нельзя убрать эти числа из школьного курса, всё равно в дальнейшем они редко используются? Подчеркну еще раз, всё ниже написанное лишь мнение автора.
Так вот, с первого по четвертый класс дети находятся в множестве натуральных чисел, а в пятом вводятся дробные числа и множество положительных рациональных чисел. Рациональное число обычно определяют, как число, которое может быть записано в виде обыкновенной дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. Также рациональное число можно определять как класс эквивалентности, что помогает потом объяснить почему мы можем заменять в примерах одну дробь на другую, приводя ее к иному знаменателю. И при введении рациональных чисел нужно донести важную мысль: это не отдельное множество, это расширение множества натуральных чисел. То есть любое натуральное число можно представить в виде рационального. Именно этим мы и занимаемся, когда вычитаем смешанные числа.
Да, построение числовых множеств не всем в жизни пригодится, но это важная часть математической науки, без которой невозможно увидеть всю систему целиком.