Однажды корабль капитана Флинта занесло в незнакомые места. Проплыв некоторое расстояние на юг, затем сколько-то на запад и потом еще на север, штурман с удивлением обнаружил, что корабль вернулся в ту же точку. Как это и могло быть? Найти все решения.
Кстати, такое случилось трижды. Сначала корабль занесло в неведомые воды и на нем кончилось мясо. Шлюпка погналась за медведем --- десять миль на юг, потом еще двадцать одну на восток --- там медведя поймали. Проплыли десять на север и... оказались у корабля.
Нас таким не удивишь! Корабль был на Северном полюсе. Оттуда в любую сторону на юг, такой путь (X на юг, Y на восток, X на север) действительно замкнут. К этой ситуации мы еще вернемся (в другой заметке), когда будем обсуждать понятие кривизны. А пока подумаем, нет ли у задачи других решений --- второй-то и третий раз такое случилось совсем в других краях...
Другое решение есть, и здесь есть о чем пофилософствовать. Возникает задача --- мы ее решаем. Найдя решение, успокаиваемся --- решение-то есть! Доказать единственность не всегда можно и не всегда хочется. Искать другие решение --- тоже, особенно если отчет близко. Откуда возьмется второе, если существование первого и то было под вопросом? А другое решение может таиться, и не одно --- и не заподозришь, что они есть.
Путь корабля по сфере можно описать как зависимость широты и долготы от времени или другого параметра. Путь замкнутый --- значит, широта в начале и в конце одна и та же. Здесь все в порядке: на юг и на север проходится один и тот же путь, так что широта и правда та же самая. Долгота тоже должна совпадать, но с точностью до целого числа оборотов (вдоль параллели), причем длина параллели равна 2пRcos(θ), где θ --- широта, а R --- радиус Земли. Посмотрите на рисунок выше: параллели --- это круги, чем ближе к полюсу, тем они меньше.
На полюсе θ = ±2п (или ±90 градусов); там косинус равен нулю, все долготы сливаются и само понятие долготы теряет смысл. У полюса можно обойти все часовые пояса за сутки, за час, за минуту. Это первое решение.
Второе решение получается так: долгота должна совпадать с точностью до целого числа оборотов; стало быть, пройденный на восток путь должен быть кратным длине параллели на данной широте. Параллели могут иметь любую длину: от нуля до длины Экватора. Можно найти ту, которая равна 21 миле; или 10.5 милям; или 5.25 мили... В Южном полушарии это не проблема. В Северном проблема в том, что плыть X миль на юг может не получиться: параллель длиной D находится на такой широте, что расстояние до полюса меньше D, например.
А может и получиться, если путь на восток больше пути на юг, и это будет третье решение.
На рисунке путь корабля выглядит так: в сторону полюса (теперь это Южный) по меридиану, потом полный круг (или два, или больше) --- и обратно. Или: полюс Северный, начинаем не на полюсе, идем на юг, потом полный круг, потом обратно.
Давайте теперь все то же самое --- формулами. Трехмерные координаты через сферические запишутся так:
x = R cosθ cosφ,
y = R cosθ sinφ,
z = R sinθ.
Здесь R --- радиус Земли, θ --- широта, φ --- долгота. Каждая из трех координат в начале и в конце должна совпадать. Отсюда сразу следует, что широта в начале и в конце должна быть одинаковой и, стало быть, путь на юг и на север обязан быть один и тот же --- если это не так, задача решения не имеет. Совпадение x и y влечет либо cosθ=0 (это наше первое решение --- Полюс), либо совпадение и синуса, и косинуса долгот в начале и в конце. Стало быть, изменение долготы должно быть кратно периоду. Далее --- дело техники.
Получается, что если пути на север (и юг) и на восток разные, а тем более --- при более сложных путях, решений может быть вообще очень много. В Южном полушарии, в Северном, для одного витка, для двух, трех витков...
Так обычно и бывает. Если у задачи нашлось второе решение, как правило, решений будет много.
Вот такими чудесами обладает Полюс: там нет понятие долготы и все направления --- на юг. В математике это называется "особенность". И часто встает вопрос: особенность --- это издержки выбора координат или свойство самой поверхности?
В некоторых теориях точка Большого взрыва похожа на полюс: спрашивать, что севернее полюса --- бессмысленно, равно как и спрашивать, что было до Большого взрыва.
Подписывайтесь, будет интересно!