Ранее я задался рядом вопросов, в числе которых: как музыка влияет на наше настроение? Почему определенные мелодии, структуры, ноты, сочетания, гармонии вызывают соответствующие им определенные чувства? Есть ли законы, описывающие этот процесс? Можно ли их описать математически? И если да, то как скоро искусственный интеллект начнет писать музыку, неотличимую от человеческой? Или это уже происходит? Я попробую поискать ответы, выудить правду, привести примеры и порассуждать в этой серии статей. Я уже рассмотрел влияние музыки на настроение и её связь с антропологией. Теперь пришло время математики.
Математика как неотъемлемая часть в понимании музыки.
Честно говоря, для меня это самая сложная часть. Я долго разбирался с ней. И если математику я знаю хорошо, то музыкального образования у меня нет, и мне пришлось прочитать много статей на эту тему. Очень сильнол помог профессор МФТИ, математик и её популяризатор Алексей Савватеев, он нагляднее всего объяснил связь математики и музыки. Посмотреть можно ниже.
Сразу отмечу несколько оговорок. Во-первых, человек воспринимает частоты только от 20 Гц до 20 000 Гц. В музыке используется лишь часть диапазона. Во-вторых, полутон (наименьший интервал в традиционной и академической музыке, расстояние между соседними ладами на гитаре) — это минимальный интервал, ещё различимый человеком. В-третьих, лишь меньшинство людей обладают абсолютным слухом, т. е. способны различать звуки по частоте. Большинство способны различать лишь интервалы между звуками, т. е. обладают относительным слухом.
Начнем с того, что мелодия — это определенная гармоничная последовательность звуков. А что такое звук? Это колебания, которые создаются струной или другим элементом, сотрясающим воздух. У определенных частот есть названия — это названия нот. Если одна частота отличается от другой в 2 раза, то это одна и та же нота, но в разных октавах, или в разных высотах. Например, нота Ля — это частота 440 Гц. И это частота камертона — инструмент для фиксации и воспроизведения эталонной высоты звука (здесь есть нюансы — эталонная частота со временем увеличивается).
Самой распространенной моделью колебаний служит струна, она нагляднее всего показывает, как образуются звуки той или иной частоты, и как они связаны между собой. Струна колеблется сразу во многих направлениях, как на рисунке ниже. Она колеблется не только целиком, но и половинами, третями, четвертями и т. д. Все эти колебания складываются в итоговое движение струны. Реальный звук струны состоит из звука основной частоты, основного колебания, а также обертонов — колебаний частями (верхних тонов, гармоник). Основной тон иногда для удобства называют первым обертоном. Соотношение частот обертонов к частоте основного тона даёт нам ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ..., а отношения частот соседних гармоник составляет 1/2 (октава), 2/3 (квинта), 3/4 (кварта), 4/5 (терция) и т. д. Такие отношения называют интервалами. Они отчетливо воспринимаются на слух, и они легли в основу создания нот. Затем к 7 ступеням октавы добавились еще 5 и это хорошо заметно на клавишных инструментах: 7 белых, 5 черных.
Если длину струны уменьшить вдвое, то её звук станет на тон выше. На гитаре это выглядит как открытая струна и 12 лад. На 12 ладу струна колеблется вдвое чаще, чем на открытой, но открытая струна уже содержит колебания 12-го лада.
Это значит, что связь высоты звука с частотой является функцией нелинейной и воспринимается пропорционально логарифму частоты. То есть высота звука описывается логарифмом частоты колебаний: чтобы поднять частоту на один полутон, надо уменьшить длину струны в некоторое количество раз. Причем это соотношение между соседними полутонами равно иррациональному числу "корень 12-й степени из 2". Это число лежит в основе распределения частот нотного строя. И оно приводит нас к аккордам, к сочетаниям нескольких нот. Почему какие-то из них звучат гармонично, а какие-то режут слух?
Возьмем, к примеру, ноты Ля (первая струна 5 лад) и Ми (первая струна 12 лад), которые не одинаковы, но созвучны. Они отстают друг от друга на 7 полутонов. Это значит, что длина струны отличается в число, равное "корень 12-й степени из 2 в 7-й степени". Это иррациональное число, стремящееся к числу 3/2. Соответственно многие колебания ноты Ми совпадают с колебаниями ноты Ля и укладываются в длину Ля целое количество раз. То есть, чтобы звуки были гармоничными, соотношения колебаний должны приближаться к "красивым" числам, чтобы у них было много общих обертонов. Это называется консонанс.
Под консонансом понимается созвучие, вызывающее ощущение покоя, гармонии, устойчивости. С математических позиций консонансы выражаются более простым отношением чисел: чистая октава – 1/2, чистая квинта – 2/3, чистая кварта – 3/4. Диссонансы же звучат беспокойно, резко, создают ощущение незавершенности и выражаются более сложным числовым отношением (например, большая септима – 8/15, малая секунда – 15/16). Причем мажорные и минорные аккорды отличаются в зависимости от того, сколько полутонов добавлено к начальной ноте.
Теорию благозвучия в свое время активно исследовали пифагорейцы, которые считали гармонию звуков лишь проявлением более глубокой гармонии — красоты окружающего мира. Но была у них и другая теория. Если первая строилась на математических пропорциях, то вторая теория провозглашала музыку силой, способной воздействовать на душу. Хорошая музыка может улучшить душу, а плохая — испортить ее. Такое музыкальное действие греки называли психагогией, или управлением душами.
Психологическое через математическое
Немецкий натурфилософ, писатель и поэт Новалис считал, что "Музыкальные соотношения являются собственно основными соотношениями в природе", а Шеллинг в своих лекциях по философии и искусству высказывал мысль: "В солнечной системе также отражается вся система музыки".
Принято считать, что "музыка идет от сердца", это нечто "духовное", "чувственное", что только чистый позыв творчества способен воздействовать на сознание и настроение. Но, как мы выяснили, у музыки есть четкие математические соотношения и закономерности. Они действую как вертикально (аккорды и созвучия в данный конкретный момент времени), так и горизонтально, то есть на протяжении какого-то времени (имеют ритм, размер, развитие). Многие музыканты составляли свои произведения, опираясь на математические модели и законы, такие как золотое сечение (пример мелодии ниже), симметрия, магический квадрат Антона Веберна. Это значит, что рациональность, логика и алгоритмы способны влиять на бессознательное, вызывать эмоции. Этим вопросом задавались уже древние философы, которые видели в математике закономерности, универсальные для всего мироздания, в том числе и для музыки. Так как в древние времена и в средние века предполагали, что человеческие органы подчиняются тем же принципам, что и музыка, было легко развить теорию о воздействиях, которая очень точно определяла структуру аффекта, например в сфере тональности, в зависимости от пропорций.
Однако с развитием науки такие убеждения ослабевали, и это привело к тому, что в 20 веке музыка в своих эстетических намерениях дошла до чистого расчета. Классическая музыка 19 века стала восприниматься не как источник психологического воздействия, а как его следствие. То есть эмоции композиторов буквально выражаются в их музыке. Только тогда не учитывалось понятие эмпатии. И на самом деле это не отменяет, а даже подтверждает теорию о том, что эмоциональное состояние можно запрограммировать с помощью музыки. Музыка может быть описана математически и может выражать эмоции, передавая их слушателю.
Так, музыковед Э. Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые произведения гениальных композиторов Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена, Вагнера, Глинки, а также произведения народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся на точки золотого сечения. Или еще, слушая сонату Бетховена "Аврора", написанную в до мажоре, мы чувствуем в музыке светлое, солнечное, спокойное настроение. Тональности ми мажор (романс Чайковского "День ли царит") присуще взволнованное, страстное переживание. Тональность фа-диез мажор ("Весной" Грига) используется для выражения радостно возвышенных чувств. А тональности до минор ("Похоронный марш" из Героической симфонии Бетховена) и ми-бемоль минор (романс Полины из оперы Чайковского "Пиковая дама") чаще других помогают композитору выразить глубокое трагическое состояние. Очевидно, что слушатель таким образом считывает настроение композитора, и он испытывает эмпатию.
И это то, к чему я стремился: найти связь математики и музыки, понять её, найти параллели, общие элементы, закономерности влияния мелодий и гармоний на человека. Последнее, к сожалению, изучено мало, но есть некоторые наработки, часть из которых я привел в конце этой статьи. И это приводит нас к вопросу о будущем музыки и о том, может ли писать музыку не человек. Об этом поговорим в следующей статье серии Законы музыки.
P.S. И не стесняйтесь поставить лайк и не соглашаться со мной в комментариях. А также можете исправлять и дополнять. В конце концов, для меня это новая и интересная тема.
Сергей П.
