Давайте рассмотрим процесс случайного блуждания на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Чтобы было интереснее, поставим такие задачи.
- Крепко выпивший рому Билли Бонс пытается пройти по палубе от носа к корме, но делает шаг влево или вправо, равновероятно, а вперед почти не продвигается. Какова вероятность, что он свалится за борт? До кормы очень далеко.
- Крепко выпивший рому Билли Бонс вылезает из трюма и пытается пройти к корме, но делает шаг вперед или назад, равновероятно. Свалится ли он обратно в люк? До кормы очень далеко.
- Сильвер, гуляя по улочкам Маракайбо, на каждом перекрестке идет влево, вправо, вперед и назад, равновероятно. Какова вероятность вернуться в исходную точку?
- Решив предыдущую задачу, Сильвер на каждом перекрестке, вдобавок, перекладывает дублон из левого кармана в правый или наоборот - равновероятно. Какова вероятность вернуться в исходную точку с теми же суммами в левом и правом кармане?
Вероятность свалиться за борт, если фальшборт низкий, равна единице. Разве что Бонс успеет добраться до кормы (но мы предположили, что она далеко). Задача похожа на задачу о разорении и сводится к тому же уравнению. Только теперь граничные условия другие: нули на обоих краях.
Кстати, если один борт защищен, возникнет условие отражения, которое можно записать, например, так: P(N)=P(N-1) - вероятность свалиться, если Бонс уперся в фальшборт, равна вероятности на предыдущем шаге --- все равно он сейчас туда вернется.
Вторая задача эквивалентна задаче о разорении при игре против неограниченного банка --- там был капитал игрока, а здесь --- расстояние в шагах. Свалится --- без вариантов. Если, конечно, шаги вперед и назад равновероятны и до кормы далеко. Если расстояние до кормы задано, то аналогия сохраняется, вероятность упасть в люк равна отношению остатка пути к полному.
Тут стоит заметить одну вещь. Имеют ли физический смысл математические абстракции? Имеют, и часто это утверждают, ссылаясь на Арнольда. Но очень важно, что это именно абстракции, и смыслов у них может быть много. Одна и та же задача может описывать множество разных ситуаций.
Давайте дадим Бонсу возможность не делать шаг, а остаться на месте: вероятности 0.25 для влево и вправо и 0.5 --- для постоять. Как легко проверить, это ничего не меняет. Уравнение для вероятности P(n) свалиться в люк за n шагов от него имеет вид
P(n) = 0.25P(n+1) + 0.5P(n) + 0.25P(n-1),
которое сводится к нашему хорошо изученному
P(n) = 0.5P(n+1) + 0.5P(n-1).
Теперь переходим к двумерному блужданию. Его можно представить как два одномерных, с возможностью остановки. Но возврат на исходную точку означает, что вернулись оба одномерных, одновременно. Какова вероятность вернуться в исходную точку?
Здесь доказательство сложнее, и я приведу его в другой раз. Результат неожиданный: вероятность равна единице. Сильвер гарантированно вернется обратно, случайно блуждая.
Наконец, рассмотрим трехмерный случай. Третье измерение - это сумма в одном из карманов Сильвера. Можно было бы предположить, что и здесь вероятность единица, но это не так. В трехмерном случае вероятность меньше единицы и равна, примерно, 0.34. По выражению Какутани, "Пьяный человек найдет дорогу домой, но пьяная птица --- не обязательно".
Наконец, заметим: двумерное блуждание гарантированно покинет любой куб и гарантированно вернется в него. А трехмерное гарантированно покинет, а вот с возвратом --- как получится. И еще: двумерное гарантированно зайдет в любой куб; а трехмерное --- с некоторой вероятностью, зависящей от размеров куба и расстояния от точки старта до него.