В нашей группе ВК мы выложили документ с перечнем материалов для подготовки к экзаменационной планиметрической задаче. Теперь о том, как им пользоваться.
Для начала вспомним, о чём мы уже говорили полгода назад.
Вся элементарная геометрия делится на четыре уровня:
- базовый — простой бытовой уровень, которым владеют большинство людей;
- школьный — изучаются основные теоремы и факты, решаются простые задачи на вычисление, проводятся доказательства в один-два хода;
- продвинутый — активно нарабатываются навыки решения задач в первую очередь для поступления в вузы;
- экспертный уровень — идёт движение в сторону серьёзных олимпиад и взрослой науки.
Сейчас нам интересен продвинутый уровень.
Есть несколько подходов к его освоению. Один из самых распространённых — решение многочисленных задач, которые сгруппированы по основным опорным фактам, базисным методам и приёмам. То есть выделяется какой-то принцип, конструкция или факт, которые являются ключевыми для решения целого класса задач, и под него подбираются задания для отработки. Таким образом через решение разноплановых задач с использованием конкретного метода или факта происходит освоение различных приёмов решения.
Конечно, и на школьном уровне изучаются основные теоремы и решаются базовые задачи. Но обычно самим приёмам решения не уделяется должного внимания. Школа заточена на постановку базы. В итоге ученикам сложно понять, что важно для решения конкурсных задач, а что не очень. Некоторые существенные факты в учебниках вообще даны в виде проходных задач со звёздочкой, которые из-за нехватки времени на занятиях попросту игнорируются.
В продвинутой геометрии же ставится именно навык решения задач.
На школьном уровне задачи больше направлены на закрепление новых знаний. Например, вам в условии дали прямоугольный треугольник, дали значения катетов или гипотенузы и попросили найти недостающие элементы. У ученика срабатывает триггер. В условии прямоугольный треугольник — значит можно попробовать теорему Пифагора, которую только что изучили.
В продвинутой геометрии те же прямоугольные треугольники могут как задаваться явно, так и появляться очень неожиданно, в том числе благодаря дополнительным построениям. И многократное решение задач тренирует умение в нужный момент применить подходящий приём. Нужно научиться видеть в хаосе чертежа знакомые конструкции. Что диаметр — это ещё и хорда, поэтому интересно, когда он пересекается другой хордой. Что если мы соединили вершину треугольника с серединой противоположной стороны, то получилась медиана, со всеми вытекающими отсюда методами и соотношениями. И так далее.
Задумка любого автора пособия для подготовки — попытаться выбрать такие методы и факты, которые на экзаменах встречаются чаще всего или же наиболее трудны для освоения, и через них помочь ученикам натренировать навыки решения задач.
Конечно, в любой такой подборке есть субъективный взгляд автора на подготовку. Хорошие преподаватели-геометры часто понимают, что лежит в основе таких пособий, и самостоятельно собирают задачи из сборников под себя и своих учеников. Особо продвинутые перерабатывают различные базы задач для составления оптимальной траектории работы. У кого нет для этого времени, используют какое-либо пособие в качестве основного и разбавляют его дополнительными задачами.
Однако, самим ученикам при самостоятельной подготовке такую подборку сделать невозможно. Поэтому старшеклассники чаще всего используют различные пособия как есть. Авторы это понимают и стараются сделать материалы максимально удобными для самостоятельного освоения.
Именно поэтому в таких задачниках есть цельная структура и задачи в разделах идут от простого к сложному. На протяжении всего задачника авторы придерживаются каких-то своих определённых принципов. Другое дело, что их подход может не подойти именно для вас.
Поэтому и был создан файл с разбивкой по ключевым темам, задачам и приёмам, который мы разместили группе.
В нём используется такая же механика, как и в пособиях. Все ключевые темы для подготовки собраны в единый список. В столбце с материалами вы можете выбрать нужный вам источник. К каждой теме есть небольшой комментарий.
Чтобы максимально согласовать всё это с обычной самоподготовкой, порядок начальных тем был взят из популярного сборника Гордина. Уже потом материалы были дополнены другими задачниками.
Для эффективной работы лучше отталкиваться именно от этого списка, а не только от выбранной вами базовой книги. Конечно, если чувствуете в себе силы, то можете взять единственный понравившийся сборник. Но потом желательно добивать остальные темы задачами из других пособий.
По самому списку тоже можно идти по-разному. Нет единого правильного способа.
Если чувствуете в себе силы, можно идти подряд. Этот подход прост для учёта, т.к. вы просто проходите тему, отмечаете её галочкой и идёте дальше по списку. Но надо понимать, что описанные в таблице приёмы взаимосвязаны друг с другом. Не получится формально пройти что-то и потом про это забыть. Показательный пример — это одно из начальных заданий в первой теме у Гордина. Вроде изучается медиана в прямоугольном треугольнике и её свойства, а при решении дополнительно используется удвоенная медиана, которая будет только в следующем параграфе. Также надо учитывать, что в одной теме встречаются задачи разного уровня сложности, и возможно не стоит себя мучить последними задачами и лучше перейти к другим темам.
Отсюда следует и другой подход к освоению продвинутой геометрии. В нём вы ориентируетесь больше не на конкретные темы, а на сложность задач. Особенно он хорош, если у вас есть небольшие пробелы в знаниях на предыдущем школьном уровне. То есть вы решаете задачи по теме и в момент, когда стали чувствовать сильное сопротивление задач, когда у вас ничего дальше не получается решать, вы меняете тему (желательно на смежную) и прорешиваете там задачи, начиная с простых. Потом вы ещё сможете вернуться, но уже на более глубоком уровне понимания, вооружившись дополнительными приёмами. Это очень похоже на спираль. На каждом витке вы переходите на принципиально иной уровень. Количество переходит в качество.
Есть ещё и третий подход, который является комбинаций предыдущих. Вы начинаете идти не подряд, а выбираете ваши любимые темы и там прорешиваете по максимуму. Это позволит вам, оставаясь в плоскости понятных задач, постепенно переходить к другим смежным темам, с которыми у вас сложности. Так вы впитываете новые методы через уже знакомые вам приёмы.
*********
А теперь пара слов об особенностях подготовки по перечисленным в таблице сборникам. Нас они интересуют только с точки зрения самостоятельной работы. Сначала обсудим общие моменты, а потом каждый по отдельности.
Во-первых, почти в каждом сборнике в начале раздела теоретический материал. Его нужно твёрдо знать, т.к. всё это изучалось на школьном этапе. Иногда автор рассказывает про самые популярные дополнительные построения и про другие тонкие моменты. Это желательно сразу изучить и использовать в задачах.
Во-вторых, внимательно читайте дополнительные пояснения к задачам, которые не столько рассказывают само решение, но сколько показывают, как можно было прийти к этому решению. Это очень ценный материал. Но это полезно только тогда, когда вы сами глубоко погрузились в задачу и пробовали её решить. Бесполезно (и даже вредно) читать то, как решал задачу автор, когда вы сами даже не пробовали приступить к решению.
В-третьих, в некоторых сборниках есть диагностики, которые очень полезны в работе. Это может быть как входная диагностика, так и промежуточные. Во-втором случае это помогает отслеживать прогресс.
А теперь про сами сборники. Ссылки на их скачивание здесь не выставляю. Мы уже несколько раз писали о том, как скачивать книги и где можно их купить.
"ЕГЭ 2019, Математика, Задача 16, Профильный уровень", Гордин Р.К., 2019.
Самое популярное пособие для подготовки, которое часто переиздаётся. Есть удобные диагностики, которые позволяют примерно оценить свой текущий уровень. Также в пособии очень хорошие подготовительные задачи для входа в тему, которые дальше развиваются в задачи на доказательство и вычисление. Но, к сожалению, после начальных задач сложность довольно быстро возрастает и нужен иной уровень понимания и обширные знания по смежным темам. Как на речке или озере, когда вы спокойно идёте по грудь в воде, а потом резкий обрыв заставляет вас действовать совершенно иначе. Эту проблему можно сгладить, перескакивая на ту же тему из другого сборника. Ещё задачи сборника могут показаться слишком искусственными и сухими, т.к. заточены именно на современный ЕГЭ. Для некоторых учеников это может быть демотивирующим фактором при подготовке. Однако, огромным плюсом сборника является созданный автором (что важно!) решебник к нему. Это даёт возможность изучить его полностью самостоятельно, даже если поначалу это очень тяжело.
"Учимся решать задачи по геометрии", Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С., 1996.
В этом задачнике самое подробное разделение на опорные темы и факты. Каждый раздел содержит задачи, которые бьют непосредственно по базовому изучаемому методу. В других сборниках задачи часто содержат опорный факт лишь как одно из звеньев в длинной цепочке решения. В этом сборнике он тоже звено, но почти всегда строго главное.
"Геометрия в задачах", Зеленский А.С., Панфилов И.И., 2008.
Обычно сборники построены по принципу: вот опорный факт, вот короткое решение пары задач на его применение, теперь решайте задачи по списку ниже. В этом же задачнике очень много внимания уделяется различным подходам к решению задач в начале темы. Вас не бросают сразу в омут задач, а пытаются сначала на понятном языке поговорить с вами о них, рассмотреть решение с разных сторон. Такое бережное отношение к ученику позволяет очень плавно войти во многие темы. Также в сборнике много тем (например, выпуклые четырехугольники, параллельные стороны четырёхугольника и т.д.), которые слишком широки для подхода с опорными задачами, но которые желательно знать. Всё это делает пособие одним из лучших именно для начала самостоятельной работы.
"Алгоритмический подход к решению геометрических задач", Габович И. Г., 1996.
Сборник состоит из нескольких типов задач, только треть из которых чисто планиметрические. Задачи в нём чуть сложнее, чем других. В том числе из-за идеологии, которая использовалась при составлении сборника. Среди опорных задач много не самых важных количественных соотношений, которые потом в явном виде просто применяются в задачах. То есть сначала в качестве опорной задачи вы выводите, например, формулу биссектрисы, выраженную через стороны, а потом по-разному так или иначе подставляете в неё числа из условия. Однако, этот сборник интересен тем, что в нём есть опорные факты, которые действительно полезны, однако почему-то отсутствуют в других сборниках.
"Геометрия. Техника решения задач", Лурье М.В., 2004.
Из этого пособия для списка взято лишь несколько тем, т.к. автор прямо не использует метод опорных задач для изложения материала. Также в задачнике есть серьёзный крен в сторону вычислительного подхода к геометрии. Многие задачи решаются через многократное применение количественных соотношений и через решение уравнений. Подходит скорее для дополнительного изучения поверх пройденного.