Давайте решим еще одну задачу, и опять с помощью теории линейных уравнений. На сей раз речь пойдет о кредите. Отдавать кредит можно по-разному, но нынче обычно в договоре фигурирует аннуитетный платеж, и банк выдает график платежей. Каждый месяц платится одна и та же сумма (с поправкой на то, что месяцы имеют разную длительность), из которой часть гасит кредит, а остальное полностью покрывает проценты за этот месяц. И график рассчитан так, чтобы за установленное число платежей выплатить весь долг. Я расскажу, как построить этот график самому - не ради графика, а ради метода - а уж выводы делайте сами. Кое-что интересное наверняка узнаете.
Итак, Бен Ганн берет X гиней в долг на N месяцев со месячной ставкой a. Ясно, что годовой процент - это 1200a%, например, 12% в год - это a=0.01.
Cколько он должен отдавать в месяц?
Для начала простое соображение: ежемесячный платеж D не может быть меньше, чем проценты на всю сумму за один месяц. Это дает оценку снизу: если Бен берет миллион гиней под 6% в год, то меньше 5000 в месяц он платить не может. А если срок мал, то и существенно больше.
Введем обозначение X(n) - это остаток долга через n месяцев, так что X(0)=X. Часть платежа идет на обслуживание долга, эта часть известна: aX(n). Остальное уменьшает долг, так что
X(n+1) = X_n - (D - aX(n)) = (1+a)X(n) - D.
Это разностное уравнение, с начальным условием X(0)=X; правда, в него входит пока неизвестная величина D. С другой стороны, есть еще одно условие: X(N)=0, ведь через N месяцев кредит должен быть выплачен.
Решаем уравнение, считая пока D известным. Сначала отбросим временно начальное условие, а также решим вспомогательное уравнение, отбросив слагаемое D:
X(n+1) = (1+a)X(n).
Уравнение первого порядка. Зная X(0), мы определим все X(n). Поэтому одно решение породит сразу все - они все пропорциональны друг другу. Здесь решение очевидно: это степень
X(n) = C(1+a)^n.
Чтобы решить исходное уравнение, надо подобрать одно решение и прибавить к нему все решения вспомогательного. Попробуем, прежде всего, константу X(n)=A:
A = (1+a)A - D,
откуда A = D/a. Нашли решение. Тогда все решения уравнения имеют вид
X(n) = C(1+a)^n + D/a.
Вспоминаем про начальное условие X(0)=X, которое позволит определить константу C:
C = X - D/a,
X(n) = D/a - (D/a - X)(1+a)^n.
Теперь применим второе условие X(N)=0:
D = aX(1+a)^N / ((1+a)^N - 1).
Можно переписать это иначе:
D = aX / (1 - 1/(1+a)^N).
При больших N плата в месяц стремится к процентам за один месяц (aX) за всю сумму, но она, как в начале отмечалось, всегда больше.
Зная D, можно найти все X(n) - это остатки, aX(n) - это проценты, и D - aX(n) - это погашение основного долга. Кстати, эта величина может быть записана так:
D - aX(n) = (D - aX)(1+a)^n.
Она быстро растет по n, поэтому для маленьких n она мала - поначалу почти весь платеж идет на погашение процентов, если срок кредита велик.
Вычислим, когда проценты составят не больше половины от платежа. Приравнивая проценты aX(n) к D/2, получаем
N-n = ln(2) / (ln(1+a)) ~ 0.7/a.
Приближение справедливо, если a^2 маленькое по сравнению с a, а если это не так - такой кредит уже надо назвать как-то иначе. Например, 12% в год - это a=0.01, что достаточно хорошо для приближения. Даже 36% в год дает хорошее приближение.
Что мы видим? Мы видим, что проценты укладываются в половину платежа за M=N-n месяцев до конца (n определим из уравнения выше), независимо от срока кредита. Если a=0.01, то это будет примерно 70 месяцев до конца, или около 6 лет. Если Бен взял кредит на 20 лет, то около 14 лет более половины платежа - проценты.
Наконец, давайте прикинем, когда верна наша исходная простая оценка для платежа - формула все-таки немного громоздкая и мало пригодная для расчетов в уме. Если aN больше двух и N велико, то величина (1+a)^N ~ e^2 ~ 7. Тогда знаменатель в формуле для D близок к единице, и D ~ aX. Например, если N=15 лет и ставка 12% в год, то D=0.012X, а оценка равна 0.01X.
Теперь можно оценить и переплату, которая равна DN-X и оценивается величиной X(aN-1). Относительная переплата равна DN/X-1, а ее оценка: aN-1. Таким образом, при 12% в год и 200 месяцах относительная переплата составит, оценочно, 100% - но оценка снизу, так что реально, конечно, немного больше.
Для 100 месяцев и a=0.01 (aN=1) в знаменателе уже существенно меньше единицы: там 1-1/e ~ 17/27. Тогда DN-X ~ 27/17 aNX - X ~ (1.6Na - 1)X. Получим DN-X ~ 0.6X, то есть относительная переплата около 60%.
Желаю успехов.