Приветствую всех, и сегодня я начну серию заметок о неожиданных свойствах принятия решений голосованием. Эта заметка основана на материале статьи [1].
Итак, представим себе парламент; он принимает или отклоняет утверждения, которые выдвигает спикер. Допустим, что утверждение принимается простым большинством. Удивительный результат состоит в том, что если в парламенте нет группы единомышленников, голосующих одинаково по всем вопросам, то парламент может принять любое наперед заданное решение - какое захочет спикер.
Запишем все утверждения, которые парламент принимает, в виде списка (да хоть по алфавиту отсортируем, нам важна принципиальная возможность это сделать): А1, А2, ...
За каждое голосует группа депутатов: М1, М2, и так далее, и каждое М является большинством. Теперь составим составные утверждения В1=А1, В2="А1 и А2", В3="А1 и А2 и А3", и так далее. (Напомню, что "А и В" логически истинно, если истинны и А, и В). С точки зрения логики, составное утверждение есть утверждение, а уж как это красиво записать- вопрос риторики.
За эти утверждения голосует пересечение множеств (обозначим его *) М1, М1*М2, М1*М2*М3, и так далее. Ясно, что либо эти множества убывают (и рано или поздно станут меньшинством), либо стабилизируются и, начиная с какого-то номера, будут просто совпадать (в этом случае в парламенте есть единогласное большинство).
Если такого большинства нет, то получается зародыш парадокса: утверждения А1 иА2, например, парламент принимает, а "А1 и А2" - нет. Это очень легко себе представить, если, например, в парламенте три партии поровну представлены и других нет. За одно предложение голосуют первая и вторая, за второе - вторая и третья. Если поставить оба сразу, за это проголосует только вторая партия, а это лишь треть голосов.
Теперь составим утверждение "С или не (А1 и А2)" или "С или не А1 или не А2". Как это убедительно подать - вопрос опять же риторикам, спичрайтерам - они справятся. ИЛИ истинно, если хотя бы один компонент истинный. Утверждение "А1 и А2" отвергается - значит, его отрицание будет принято (по законам логики должно быть так). Значит, все утверждение принимается. С здесь - любое утверждение по выбору спикера.
Вроде как пока ничего страшного - мало ли что можно прицепить к правильному высказыванию через ИЛИ! "Дважды два четыре или шестью девять сорок два" - истинно так как первая часть истинна; мы просто отдельно оговорим, что вторая часть неверна.
В случае с парламентом же ситуация иная. Он уже принял А1 и А2! Поэтому любой суд признает, что "А1 и А2" истинно, поэтому отрицание ложно. Но раз принято "С или не (А1 и А2)", то истинной может быть только часть С, которая и подлежит исполнению.
Мы не будем обсуждать, какие ограничения есть в этой модели. Дело не в них, а в принципиальной глубинной проблеме. Равно как и не будем дискутировать о практических выводах и их правомерности. Просто в системе голосования есть изъян; но как устранить этот изъян, никто толком не знает.
[1] А. Шапиро. "Логика и парламент". Квант. 1995, №3. С. 6-11.