Человек — существо, живущее во времени. Мы всегда прикидываем, что ждет нас в будущем, и выбираем наше сегодняшнее поведение так, чтобы в будущем нас ждали приятные следствия.
Мы, конечно, угадываем будущее не так часто, как хотелось бы, а потому стараемся улучшить свои способности предсказания. Одни идут к астрологам, другие — к экспертам по рынку нефти. Математический способ предсказания — построить график функции по имеющимся данным и продлить его в будущее. Именно так — строя графики по имеющимся данным — пытались строить модели распространения covid.
Легенда о шахматной доске и куда в ней смотреть
Классическая история про экспоненциальный рост — это легенда о зернах на шахматной доске. По легенде создатель шахмат научил правителя свой страны этой игре. В награду же попросил правителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно рисовое зернышко, за вторую — два, за третью — четыре и так далее. За каждую следующую клетку число рисовых зерен удваивалось. Мудрец — создатель шахмат — понимал толк в экспоненциальном росте, а правитель — нет, потому и согласился. Интуиция его подвела, как подводит и многих из нас, когда мы себе такой рост представляем.
На самом деле нужно делать наоборот — изображать последние шаги, чтобы мы по ним представили себе первые:
На последнюю клетку пришлось столько же риса, чем на все остальные вместе взятые. А на последний ряд пришлось больше 99,5% от всего полученного риса. Поэтому картинки с рисом на первых клеточках хотя и верны, но рис на них практически не дает вклада в общий итог.
Так и ведёт себя экспоненциальный рост: на самых первых шагах он набирает силу, а нам все еще кажется, что там ничего не происходит. Набирает силу он довольно долго, чтобы на последних шагах просто-таки взорваться. Вот поэтому усилия общества по сдерживанию covid были направлены на то, чтобы не допустить взрывного роста на последних шагах.
Как в математике сравнивают рост функций.
В математике есть шкала для сравнения роста функций. Она чем-то напоминает принцип сравнения целых чисел по количеству цифр. Если в одном числе цифр больше, чем в другом, то первое число больше. А если цифр поровну, то числа примерно равны, — это грубая оценка.
А функции по скорости роста мы сравниваем со степенными — с линейной, квадратичной, кубической: с y=x, y=x², y=x³, y=x⁴, …
Экспоненциальная функция a^x растёт быстрее любой степенной, лишь бы основание а было больше 1. Оно даже не обязано быть двойкой, а может оставаться довольно маленьким, таким как 1,1 или 1,01 или даже 1,00001. Рано или поздно экспоненциальная функция обязательно обгонит любую степенную.
Сравнение скоростей роста — актуальная тема в теории алгоритмов, ведь скорость работы — один из важнейший параметров работы алгоритма.