Перенесемся в мир книги "Остров сокровищ" Р.Л. Стивенсовна. Мы знаем, что хитрый пират Джон Сильвер говорил молодому матросу, что имеет сбережения, за которыми, пока он в море, присматривает его "старуха". Позвольте раскрыть Вам некоторые подробности.
Сильвер поместил мешок пиастров в банк под заданный годовой процент. Пусть для простоты это будет 100% (потом мы рассмотрим и более реальные значения). Вернувшись из плавания через год, он рассчитывает получить два мешка.
Однако подруга Сильвера ему под стать! Моряк получит свои два мешка, но кое-что миссис Сильвер оставит и себе. Как это ей удается???
Представим, что она придет в банк через полгода и досрочно снимет вклад. Ей выдадут мешок первоначального вклада и проценты за половину года — полмешка. Эти полтора мешка она тут же положит снова в банк. Через шесть месяцев она получит эти полтора мешка вклада, плюс половину от полутора — три четверти — процентов. В целом это составит (1+1/2)^2, или 9/4: это уже больше, чем два (2.25)! Четверть мешка женщина может оставить для себя.
А что, если миссис Сильвер придет в банк четыре раза в год? Тогда доход составит (1+1/4)^4, что даже больше, чем 2.44.
Нетрудно проверить, что n визитов принесут (1+1/n)^n, причем это выражение возрастает по n. Возрастающая последовательность либо растет до бесконечности, либо упирается в некоторый предел. В данном случае случай второй — есть предел. Он обозначается буквой e и называется иногда числом Эйлера.
Важно отметить, что достичь этого предела нельзя — теоретически можно миллиарды раз снимать вклад и класть его обратно, и результат будет все ближе к e, но всегда меньше.
Число e иррационально и трансцендентно: не представляется в виде дроби N/M и не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Его вообще никак целиком не "взять в руки", можно только вычислить с любой заданной точностью.
Первые знаки числа запомнить легко: e=2.7(1828)(1828)(45)(90)(45)... Два мешка — это понятно, это вклад плюс базовый процент. 7 — это грубая оценка того, что присвоит себе подруга Джона: 0.7 мешка, даже побольше. Далее идет два раза год рождения Льва Толстого (1828) и углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45-90-45).
...А что, если процент в банках Бристоля все-таки не 100 в год? Тогда несложные рассуждения дают выражение (1+a/n)^n, где a — это годовой процент, деленный на 100. Пределом является экспонента exp(a)=e^a. Например, если банк платит 5%, то Сильвер, положив мешок с тысячей пиастров, рассчитывает получить 1050 пиастров; а его жена, вручив ему эти 1050 пиастров, оставит себе на булавки 1.27 пиастра — мелочь, а приятно!
Подписывайтесь на канал — баек из жизни знаменитого квартирмейстера будет еще много! На любой уровень — от школьного до профессионального!