И то и другое ПИВО.
Такое деление - всего лишь способ сбраживания, то есть это применение определенной культуры одноклеточных грибов - дрожжей, которые так же делятся на ЛАГЕРНЫЕ и ЭЛЕВЫЕ. Каждый стиль пива при производстве ферментируется своим отдельным штаммом, который лучше всего работает со "своим" набором материалов - типом солода, хмеля, температурой брожения и т.д. В итоге получается сбалансированный результат. Стиль пива называется по штамму и наоборот.
Лагерные дрожжи
Такие дрожжи в процессе брожения находятся большую часть времени внизу бродильной емкости, поэтому их еще называют низовые, и работают они при довольно низких температурах - примерно от плюс одного до плюс пятнадцати градусов Цельсия. При таком режиме дрожжи почти не оставляют следов работы в виде эфиров, фенолов и других вкусо-ароматических соединений, поэтому лагеры имеют более чистый вкус и аромат солода и хмеля.
Раньше не было возможности постоянно сбраживать пиво при низких температурах, поэтому лагеры широко вошли в нашу жизнь сравнительно недавно - 150-200 лет назад. С тех пор лагеры полюбили за чистый вкус солода и хмеля. И сегодня львиная часть пива, продающегося в мире, как раз лагеры.
Элевые дрожжи
Эти ребята, напротив, при работе находятся в верхней части бродильной емкости, либо по всему объему, поэтому их, в противоположность низовым, называют верховые. И работают они при более высокой температуре - примерно от плюс 15 до плюс 25 градусов Цельсия.
В таком режиме дрожжи при работе привносят в готовое пиво свои эфиры. Как правило это вкусы и ароматы разных фруктов или цветов, которые совместно со вкусами специальных солодов и вкусных видов хмеля, дают плотные, часто более алкогольные эли с богатой фруктовой или цветочной вкусо-ароматикой.
Первое пиво в мире было элем и появилось оно в далекие далекие времена, когда рядом с Нилом проживали любители возводить сооружения пирамидальной формы с использованием рабской силы. Затем люди стали понимать, что низкая температура делает пиво чище, а элевые дрожжи при низких температурах просто впадали в спячку и переставали работать, поэтому для получения чистого вкуса культивировали специальные лагерные культуры. Первыми стабильный низовой штамм разработали в 1865 году в компании Carlsberg, известной и поныне.
Также никто не запрещает делать "смешанное" пиво, когда берут лагерные дрожжи, но сбраживают сусло по температурному профилю элевых. Бывает и наоборот, когда эль после основного брожения выдерживают при низких температурах как, например, Альтбир из Дюссельдорфа. Бывает даже, что пивовары используют оба штамма сразу - получается порой интересно.
Еще существует имбирный эль как самостоятельный напиток, но к пиву он отношения практически не имеет. С пивом его роднит только способ приготовления - его тоже сбраживают дрожжами, но совсем чуть чуть, и то это необязательно. А вместо солода и хмеля используется имбирь, сахар и лимон. В таком напитке алкоголя на уровне кефира. Имбирный эль по смыслу больше лимонад.
В общем, ЭЛИ это более плотные, сладкие, алкогольные, часто "мощные" напитки, это такой компот из разных вкусов, а ЛАГЕРЫ это чистые, более "тонкие" напитки, в которых подчеркнут вкус солода и хмеля.
Еще по теме: Простая, но понятная классификация сортов пива.