Приветствую всех, и сегодня я постараюсь без формул (!) рассказать о связи симметрий и законов сохранения.
Симметрия - это группа преобразований, которая не меняет объект. Например, квадрат не меняется при поворотах (относительно центра) на 90 градусов. А круг не меняется при любых поворотах относительно центра. А еще обе эти фигуры не меняются при зеркальном отражении...
А любая фигура не меняется при повороте на 360 градусов - тоже симметрия, хоть и не очень богатая.
Группа - это такой набор преобразований, что для каждого преобразования найдется то, которое его отменяет. Например, в группе зеркальных отражений два элемента: единичный элемент (преобразование "ничего не делаем") и собственно отражение. Отражение обратно к себе - оно себя отменяет.
Элементов может быть больше и даже бесконечно много. Нас будут интересовать непрерывные группы с одним параметром. То есть параметр должен меняуравнения явно не зависят. ться непрерывно на отрезке или на всей числовой прямой. Примеры - группа поворотов вокруг данной оси на любой угол или группа сдвигов в данном направлении.
Пусть у нас есть уравнения движения, описывающие изменения координат (и скоростей - их тоже можно считать координатами) каких-то объектов во времени. Разумно предполагать, что, например, время в эти уравнения явно не входит. В противном случае динамика системы зависит от времени. Так бывает, если меняются внешние условия, но если мы записываем законы природы - такого быть не должно. Координаты объектов в уравнения, конечно, входят; но они должны входить в виде разностей, в виде расстояний между объектами, а не абсолютно: в противном случае динамика системы будет меняться в зависимости от того, где мы поместим начало координат. Наконец, уравнения не должны меняться при поворотах, потому что направление осей, опять же, не должно влиять динамику.
Теорема Нётер утверждает, что каждая симметрия дает закон сохранения. В нашем случае их семь: инвариантность по времени дает сохранение энергии, инвариантность по сдвигам (в трех направлениях) дает сохранение импульса (это вектор из трех компонент), а повороты - сохранение момента.
Давайте возьмем два уравнения для координат x и y двух материальных точек в одномерном пространстве. И пусть от времени уравнения явно не зависят. Тогда выберем положение x одной из точек за новое время - мы именно так и поступаем, принимая за время положение Солнца или Луны на небе. Получим одно уравнение для y(x), и оно от нового времени уже может и зависеть. Решим его - там будет произвольная постоянная C (они всегда присутствуют при решении дифференциальных уравнений): y=f(x,C). Выразим эту постоянную: C = U(x,y).
Собственно, это и есть закон сохранения: энергия U всегда сохраняет свое значение. Теперь давайте посмотрим на импульс.
Координаты наших точек в уравнения входят, но только в виде разности x-y. Обозначим эту разность через h и вычтем одно уравнение из другого. Получим опять одно уравнение для переменной h. Далее получим, совершенно аналогично, сохраняющийся импульс. Правда, он может от времени зависеть, но если инвариантность по времени есть, вместо времени уже новая переменная.
Так симметрии связаны с законами сохранения. Получается, что важно даже не то, от чего что-то зависит, а от чего не зависит. К этому принципу мы еще вернемся. Подписывайтесь на канал, будет еще много интересного.