Санкт-Петербургский парадокс

Мы уже затронули тему вероятностных парадоксов, когда на среднее влияют нереальные, но дорогие события. Давайте теперь рассмотрим еще один пример. Отмечу, что он довольно известен, в отличие от предыдущего примера (+10%, -10%).

Итак, Вам предлагается сыграть в такую игру: монетка подбрасывается до тех пор, пока не выпадет решка. Если она выпадает на первом же броске, Вы получаете 2 рубля. Если на второй раз - 4 рубля. И так далее - если впервые решка выпала на раз номер i, то получаете 2 в степени i рублей. Вопрос: сколько денег стоит платить за право один раз сыграть?

Интуитивно ясно, что много платить неразумно. Однако если посчитать среднее, то ответ будет совсем иным. Возможные исходы -это серии из i-1 орла и затем решки. Вероятности у них равны 2^{-i}. Выигрыш же равен 2^i. Таким образом, вклад в среднее каждого исхода равен единице. А исходов - бесконечно много...

Получается, что с точки зрения теории правильно платить любую сумму, которую запросят - в среднем она отобьется. Здесь можно было бы возразить, что отобьется она не скоро и столько партий просто не сыграть, никак и никогда. Но решение парадокса все-таки иное.

Сколько денег у того, с кем Вы играете? Неявно предполагается, что денег у него всегда хватит, но это, очевидно, неверно. Допустим, что денег у него - триллион рублей. Если мало, возьмите тысячу триллионов, по сути это ничего не изменит. Итак, триллион - это 10^{15}. Это меньше, чем 2^{50}.

Итак, до i=50 вклады исходов равны единице. А потом выплата остается прежней, а вероятности убывают. Так что все оставшиеся исходы, вместе, дают вклад, равный единице! Так что больше 51 рубля платить не стоит - это уже согласуется с интуицией. Но это если у врага есть триллион.

Если у него "всего" миллион, то плата не превосходит 21рубля, а если у шутника максимум тысяча рублей - то десятка уже на грани риска.

Подписывайтесь на канал - будет еще много материалов, для больших и маленьких, сложных и простых, интересных и незнакомых!