Задачи на построение обычно сильно недооценивают.
Напомню, что в таких задачах требуется по исходным данным что-то построить, используя только циркуль и линейку без делений. Первый инструмент нужен, чтобы строить окружности заданного радиуса, второй — для проведения прямых, соединяющие две точки. Такой нехитрый набор инструментов позволяет придумывать довольно содержательные задачи разного уровня сложности, начиная с самого простого. Пример простой задачи из школьного учебника: с помощью циркуля и линейки найти на отрезке его середину.
В обычной средней школе решают мало таких задач. Причин сразу несколько.
Во-первых, самая банальная причина, — нехватка времени. Учителя предпочитают успеть прорешать с учениками как можно больше задач на нахождение количественных соотношений. Это позволяет повторить механики из текстовых задач, вспомнить базовые геометрические определения и свойства и подтянуть вычислительные навыки. Задачи же на построение идут обычно в конце пройденных тем и до них просто не доходят. Также такие задачи сами по себе требуют очень много времени и усилий на решение. Ученики, не умея долго думать, при самостоятельном решении подобных задач, часто сдаются и просто их не делают. Да и сам разбор таких задач требует подробного разъяснения и соответственно отнимает много времени в классе. Часто, чтобы провести полноценное занятие с исследованием нескольких задач на построение, требуются сдвоенные уроки.
Во-вторых, такие задачи заметно отличаются от обычных геометрических задач. Ограничения на использование инструментов при построении заставляют глубже проникать в суть задачи. Это требует отличного знания и понимания теории. Здесь не получится просто шаблонно прийти к ответу, предварительно разобрав похожую задачу с другими числами.
В-третьих, подобных задач нет в олимпиадах, конкурсных экзаменах и в аттестационных испытаниях. Отсюда прагматичная позиция: “Зачем их вообще решать, если этого нет в ЕГЭ и ОГЭ?”. Даже обычную геометрию не жалуют при подготовке к экзаменам, а экзотика вроде задач на построение кажется совсем лишней.
В-четвёртых, в таких задачах плохо формализуется решение. Очень сложно письменно пошагово рассказать алгоритм построения. Чтобы проверить правильность решения желательно лично услышать, как ученик решал эту задачу и какие действия выполнял. Показать гораздо проще, чем объяснить. Здесь как нигде очень важен диалог того, кто рассказывает решение и того, кто это решение слушает. Поэтому ни в каких ГИА не может быть таких заданий, а если будут, то только на устных экзаменах, да и то только самые простые задачи.
В-пятых, у подобных задач есть некий ореол устарелости. В школе иногда рассказывают про три знаменитые задачи древности, про то, как греки и египтяне что-то там на своих участках вычерчивали. И многим кажется, что это скорее фольклор и ближе к историческим задачам. Зачем современному школьнику мучиться и решать такие задачи? Ведь можно тот же отрезок разделить не циркулем и линейкой, а обычной линейкой с делениями. Не говоря уж о самой необходимости других подобных задач. Те же древние геометры вряд ли вообще нуждались в восстановлении треугольника, например, по биссектрисе, медиане и высоте.
В-шестых, потеряна традиция решения подобных задач и их преподавания. Исходя из всех перечисленных причин, преподаватели сами всё меньше и меньше уделяют внимания таким задачам и соответственно всё хуже умеют их решать. И даже те, кто вроде как-то может с ними справится, совершенно не знают методики их преподавания. Отсюда невозможность найти полноценных курсов по решению подобных задач.
А теперь о том, почему задачи на построение невероятно полезны и эффективны не только для подготовки к экзаменам, но и в целом для развития мышления.
Задачи на построение циркулем и линейкой — это совершенно иной взгляд на планиметрию. Решение каждой задачи становится полноценным исследованием. Особенность большинства геометрических задач в том, что по бегло прочитанному условию иногда сложно понять их сложность. Вам нужно сначала погрузиться в них, нарисовать чертёж, рассмотреть ключевые элементы, вспомнить всё, что вы знаете об этих элементах и т.д. Задачи на построение ещё более продвинуты в этом плане. Вам нужно не просто погрузиться в задачу, а как бы встать над ней. Увидеть не только какие-то мелкие делали, но сразу всю её целиком.
У школьников часто возникают сложности с задачами, в которых нужно предварительно сделать какие-то дополнительные построения. А в задачах на построение это вообще ключевое умение. Тут нужно не просто найти одну-две недостающие детали, тут нужно достроить полноценный чертёж! Да и ещё сверх того потребуется много различных вспомогательных элементов, которые в обычной задаче даже в мыслях не придётся строить.
Ещё более полезны эти задачи для многовариантных задач. То есть когда геометрическая задача допускает несколько разных ответов в зависимости от некоторых условий. Школьникам очень тяжело даётся такая вариативность. Даже прорешав кучу задач из классических сборников и зная, что в некоторых заданиях может быть несколько разных случаев, большинство учеников не могут в самый ответственный момент разглядеть ещё один случай.
Через задачи на построение подобные проблемы легко решаются. В любой такой задаче предполагается, что при анализе решения вы должны будете показать все различные варианты построения. Без этого задача не считается решённой. Этот подход учит и в обычных задачах автоматически задавать себе вопрос: “Все ли случаи я учёл?”
Также в задачах на построение есть методы, типичные для таких задач и которые потом переносятся в обычные олимпиадные задачи.
И наконец, задачи на построение позволяют разнообразить вашу подготовку. Когда вас уже тошнит от однообразных вычислительных экзаменационных задач, можно без ущерба для качества подготовки временно переключиться на такие задачи.
Как же прокачать задачи на построение?
На первых порах желательно самим или с преподавателем попробовать сделать простейшие построения. То есть взять реальный циркуль и линейку и построить, например, равносторонний треугольник по заданной стороне или найти середину отрезка. На этом этапе нужно просто привыкнуть к такого типа задачам.
Дальше нужно будет понять общие правила решения таких задач. Например, что вообще значит решить такую задачу. Ведь вам не просто надо воспроизвести алгоритм построения, но ещё и доказать, что вы построили то, что нужно. Также надо пояснить, возможно ли ваше построение при исходных данных и сколько вообще может иметь решений задача, и все их найти. То есть нужно провести очень серьёзный анализ. А начинать нужно с самых простых действий: представить, будто вам уже удалось построить исходную конструкцию, найти какие-то закономерности в ней и пути построения ключевых элементов.
Лучше всего заниматься такими задачами параллельно школьной программе, начиная с 7 класса. Прошли полностью тему “Признаки равенства треугольников” — попробуйте их построить по заданным элементам. Узнали о свойствах касательных к окружности — проведите касательную через данную точку к данной окружности с помощью циркуля и линейки.
Ещё лучше продолжать решать такие задачи в 10-11 классе, когда вы изучили всё необходимое из планиметрии и готовы двигаться дальше. Вычислительные планиметрические задачи из экзаменов довольно скучные. Если у вас всё хорошо было с геометрией в 7-9 классах, их в крайнем случае можно прорешать за полгода-год до экзамена. В то время как задачи на построение красивые и поддерживают вашу планиметрическую форму. Особенно это важно для старшеклассников, которые за два последних года успеют забыть всю планиметрию.
Надо помнить, что задачи на построение нужны больше для шлифовки материала. Если вы только начали проходить, допустим, инверсию, не стоит сразу заниматься такие исследовательскими задачами.
Теперь о том, какие материалы лучше использовать.
Самый лучший вариант — это классический “Сборник геометрических задач на построение” (И.И. Александров). Там более 900 задач, разбитых по различным темам. Можно также обратить внимание на книги “Геометрические построения на плоскости” (Аргунов Б.И., Балк М.Б.), “Геометрические задачи на построение” (Блинков А.Д., Блинков Ю.А.) и “Геометрические построения на плоскости и в пространстве. Задачи и решения” А.А. Дадаян. Не обязательно решать все задачи из выбранного вами сборника. Вам нужно ориентироваться на те темы, которые вы уже хорошо знаете.
Есть ещё интересное приложение Евклидия. Однако, оно, несмотря на всю красоту, содержит только определённый класс задач, которые можно решить на экране. Также в нём не требуется делать полноценный анализ и доказывать корректность построения, хотя это очень важно. Суть задач на построение не в самом построении как таковом, а в четвёрке “анализ-построение-доказательство-исследование”. Отметим, что в этом приложении есть свои уникальные довольно интересные механики, сложно реализуемые на бумаге. В общем, эта игра может быть полезным развлечением для случаев, когда нужно занять свои мозги в общественном транспорте.
Напоследок предлагаю решить несколько задач на построение. Первые две довольно простые и скорее разминочные. Остальные требуют уже большей изобретательности:
1. Разделить циркулем и линейкой данный отрезок а) на 4 одинаковые части; б) на 5 одинаковых частей.
2. Построить треугольник по данной стороне а) и точке пересечения медиан; б) и точке пересечения биссектрис; в) и точке пересечения высот;
3. Построить треугольник по периметру и двум данным углам.
4. Дан угол и точка внутри него. Построить на сторонах угла по точке так, чтобы получился: а) треугольник с минимальным периметром; б) равносторонний треугольник
5. Построить треугольник, если известны его медиана, высота и биссектриса, проведённые: а) из одной вершины; б) из трёх разных вершин.
Есть ли у вас любимые задачи на построение циркулем и линейкой? Поделитесь в комментариях?