Разделите каждый квадрант на квадранты. Теперь у вас 16 областей. Вычислите среднюю температуру в каждой из них и представьте эту информацию в матрице 4 на 4. Можно продолжать в том же духе, разделяя квадранты на квадранты и представляя среднюю температуру квадрантов как матрицы с большим и большим - но всё же конечным - количеством рядов и столбцов.
Теперь, для каждой конечно-размерной матрицы, вы можете спросить себя: Насколько хорошо приближены показания температуры в бесконечно-размерной матрице? С матрицей 2 на 2, например, вы могли бы надеяться, что средняя температура для квадранта находится в пределах 10% от фактической температуры в каждой точке в пределах этого квадранта. Матрица 4 на 4 немного более уточнена, поэтому вы могли бы надеяться сделать немного лучше, возможно получить в пределах 9% от фактической температуры в каждой точке.
Догадка Коннса имеет похожую суть. Но вместо показаний температуры на карте, это имеет отношение к матрицам, которые описывают квантово-механические системы, такие как луч света.
Коннс предсказал, что знание поведения системы на упрощенном уровне - матричный вариант 2 на 2 - всегда позволяет аппроксимировать поведение всей системы в пределах некоторого предела погрешности. Эта ошибка уменьшается с увеличением размера матрицы. Добавляя фотоны и расширяя размер матрицы, вы все ближе приближаетесь к бесконечно-размерной матрице, которая действительно описывает, что происходит с пучком света.
Доказанная ложь
Но новый результат компьютерной науки доказывает, что предсказание Коннса ложно. Это означает, что хотя схема аппроксимации работает для некоторых бесконечно-размерных матриц, описывающих квантово-механические системы, она работает не для всех из них.
"Его догадка предсказывает, что знание достаточной информации о каждой подсистеме является с некоторой погрешностью достаточным для описания всей системы в целом", - написал Полсен в электронном письме. "Теперь мы знаем, что это не так".
Неудача гипотезы Коннса имеет ряд последствий для математики. Первое из них заключается в том, что не все бесконечно-размерные матрицы можно хорошо аппроксимировать конечно-размерными матрицами.
"Это действительно мешало людям работать над этими проблемами. Но теперь игра возобновилась", - говорит Верн Полсен из Университета Ватерлоо.
Второе следствие заключается в том, что должны существовать семейства бесконечно-размерных матриц, о которых математики не знают. Коннс предсказал, что все семейства бесконечно-размерных матриц могут быть хорошо аппроксимированы конечно-размерными матрицами, и до сих пор так было всегда. Новое доказательство устанавливает, что данная схема аппроксимации не всегда работает, но на самом деле не идентифицирует какие-либо специфические семейства матриц, отклоняющиеся от нее. Так что теперь математики должны найти те, которые не работают.
Работа ведётся и в других направлениях. Ряд других догадок были привязаны к догадкам Коннса. Если бы это было правдой, как предполагали многие математики, эти и другие задачи тоже были бы автоматически правдой. Но поскольку это ложь, то и другие догадки сейчас более неопределенны, чем когда-либо. И математики пренебрегали ими до сих пор.
Однако прежде чем математики приступят к какому-либо из этих предположений, им необходимо понять результат, полученный с помощью компьютерной науки, который их спровоцировал. Это будет нелегко". Новое доказательство - это размашистая 165-страничная работа, разработанная за несколько лет и прочно укоренившаяся в теории вычислений, а не в алгебре операторов. Как объясняется, она восходит к ранней теории вычислений Алана Тьюринга, а также опирается на квантовое сплетение и те забавные конкурсы типа шоу- викторины, называемые нелокальными играми. Большая часть этого чужда математикам.
"Если вы не интересовались тем, что происходит в математике последние два года, - сказал Полсен, - то довольно удивительно, что эти методы решили проблему Коннса, которая заключается в матрицах".
Математики теперь сами разделились. Те, кто ее понимает, организуют семинары, чтобы научить других. Пять компьютерных ученых, которые написали эту работу, также планируют лекции, чтобы объяснить свою работу математическому сообществу.
В конце концов, математики впитают в себя новый результат и, скорее всего, найдут способ переформулировать его на языке своей области. Но человеческая цивилизация не приспособится к такому внеземному прозрению в одночасье. Математика тоже не приспособится.
"Это займет некоторое время", - сказал Полсен.