Знаковое доказательство в компьютерной науке разрешило важную проблему, называемую "встраиваемой гипотезой Коннса"
Представьте себе, что пришельцы приземлились на Землю и вручили нам заведомо правильные ответы на наши самые острые вопросы:
- Существует ли Бог?
- Верна ли гипотеза Римана?
- Действовал ли Освальд в одиночку?
Мы были бы признательны за эту информацию, но она не была бы очень полезной, если бы мы не знали, как они получили свои ответы.
Вот в какой ситуации сейчас оказалась математика. В январе 2020 года команда компьютерных ученых опубликовала убедительное доказательство, которое было названо одним из лучших результатов в своей области в этом столетии. Однако это доказательство вышло далеко за рамки компьютерной науки. С помощью длинной цепи последствий, она также решила серьезную открытую проблему в математике.
Математики в области алгебры операторов теперь как те земляне, с ответами на все вопросы без объяснений. Компьютерная наука сказала им, что предположение, которое их волнует, ложно. Но чтобы сделать что-то полезное с информацией, им нужно найти способ перевести доказательство на язык, который они могут понять.
"Если бы больше людей в сообществе операторов алгебры обращали на это внимание в течение последних пары лет, сообщество в целом могло бы быть ближе к тому, чтобы переварить этот результат", - говорит Верн Паулсен, математик из Университета Ватерлоо в Канаде. "Нам предстоит многое наверстать".
Суть
Математической проблемой является встраивающая гипотеза Коннса, поставленная в 1976 г. Аленом Коннсом из Института передовых научных исследований во Франции. Она связана с определенными числовыми объектами, возникающими в математике квантовой механики.
Во-первых, рассмотрим более простой сценарий. Представьте себе мяч, брошенный в воздух. Нужно три числа, чтобы определить его положение вдоль осей x, y и z пространства. Подключив эти числа к уравнениям, можно смоделировать траекторию мяча.
Допустим.
Теперь представьте, что вы хотите математически описать луч света. Это квантово-механическая система, которую математики и физики описывают, подключая квадратные массивы чисел в уравнения. Эти массивы, называемые матрицами, играют роль чисел в примере: Они содержат всю информацию, необходимую для описания положения луча света.
Но если для описания мяча достаточно всего трех чисел, то матрицы, описывающие пучок света, огромны: они содержат бесконечные ряды и столбцы чисел.
Почему их так много? Потому что луч света - это действительно поток фотонов.
Один из способов подумать об этом - построить модель из отдельных фотонов. Пучок света с одним фотоном можно описать с помощью матрицы 2 на 2, числа которой представляют собой "угол колебаний" фотона, измерение, которое примерно соответствует его направлению движения. Пучок с удвоенным количеством фотонов - два - требует матрицы 4 на 4. Для трех фотонов нужна матрица 8 на 8. Четыре фотона имеют матрицу 16 на 16, и так далее, при этом количество строк и столбцов увеличивается на 2 при каждом добавлении фотона.
Итак, если в конечном итоге вы проложите свой путь до всего луча света, насколько большая матрица вам понадобится для его описания? Это зависит от того, сколько фотонов содержит пучок - и квантовая механика рассматривает пучок как волну, содержащую неограниченное количество фотонов.
"Вы должны думать о нем как о бесконечном потоке", - сказал Полсен. Для описания этого луча потребовалась бы матрица с неограниченным числом строк и столбцов. Математик и эрудит Джон фон Нейман начал изучение бесконечно-размерных матриц, которые возникают из квантово-механических систем в 1930-х годах.
Четыре десятилетия спустя, Коннс сосредоточился на этой работе. Он предложил систематический способ мышления о бесконечно-размерных матрицах, которые описывают систему, подобную потоку фотонов, предполагая, что они могут быть построены упорядоченным образом из меньших, конечно-размерных матриц.
Можно думать об этом вот так.
Представьте, что у вас есть плоская карта поверхности Земли, и вы хотите знать температуру везде. Вы можете взять показания термометра в каждой из бесконечно многих точек на этой карте. Затем вы можете представить эти показания, построив матрицу с бесконечным числом строк и столбцов.
Но это очень объёмная работа. Так что теперь попробуйте аппроксимацию для грубого приближения: Разделите карту на четыре квадранта и вычислите среднюю температуру в каждом квадранте. Вы можете представить эту информацию в простой матрице 2 на 2.
Часть 2