Пусть a, b, c - натуральные числа. Могут ли все три числа a^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+b быть точными квадратами натуральных чисел? Это небольшая переформулировка задачи 1 из 23-й Азиатско-Тихоокеанской олимпиады (2003 год). Ниже будут приведены два решения. В обоих будет предполагаться, что эти числа могут быть точными квадратами. Первое решение. Если мы предположим, что a^2+b+c - точный квадрат, то это число не меньше (a+1)^2, т.е.
a^2+b+c>=a^2+2a+1;
b+c>=2a+1. Аналогично получим неравенства
c+a>=2b+1
и
a+b>=2c+1. Теперь сложим три полученных неравенства. Получим
(b+c)+(c+a)+(a+b)>=(2a+1)+(2b+1)+(2c+1),
т.е.
2a+2b+2c>=2a+2b+2c+3. Противоречие! Второе решение. Так как выражения из условия задачи симметричны, можно без ограничения общности считать, что
a>=b>=c. Так же, как и в предыдущем решении получим, что
b+c>=2a+1. Но тогда
2a>=b+c>=2a+1. Противоречие!