Во время подготовки к геометрической задаче с использованием списка ключевых методов решения у учеников возникают различные вопросы. За всё время работы мы собрали самые популярные и ответили на них.
*********
Сколько нужно прорешать задач на заданную тему? 5-20-50-100?
При самостоятельной подготовке ответа в общем виде быть не может. Очень многое зависит от контекста.
Большинству понятно, что решать по 3 стандартные задачи из каждой темы или по 100 задач — не эффективно. В первом случае на экзамене не получится решить планиметрию из-за неразвитого навыка, а во втором получится, но будет недобор баллов в других заданиях из-за непропорционально малого времени, потраченного на подготовку к ним. Да и само количество может сильно зависеть от темы. Где-то факт не такой широкий и хватит десятка задач, а где-то не хватит и полсотни, чтобы разобраться во всех тонкостях.
Качество задач тоже может быть разным. Кто-то успешно решал только самые сложные в разделе, а кто-то выбирал простейшие задачи из начала и бездумно щёлкал их как семечки.
Но дело не только в количестве и в качестве решаемых задач. Во время подготовки часто возникают определенные трудности при оценке своей работы и при учёте задач.
Например, представьте такую ситуацию. Парень решал задачу, решил её, потом заинтересовался общим случаем, решил и его, поделился задачей с другом, тот нашёл своё решение и придумал обобщение поглобальнее. Потом они подошли к учителю, тот нашел ошибки в их решениях, которые те быстро поправили, но большой обобщённый случай не смог решить сам и сказал в каком направлении нужно думать. За неделю парни осилили, наконец, и самый общий случай. Фактически была решена одна исходная задача из списка. Но как оценить вклад, который она внесла в подготовку?
Или противоположная ситуация. Некто, узнав про задачник и решебник Гордина, придумал свой метод «изучения» этого пособия. Он сначала читал вслух условия задач и сразу же после этого о-о-очень вдумчиво читал решения. Прочёл все решения. Потом прочёл задачи и их решения в других сборниках. В итоге получилось около 100 задач по одной теме. Можно ли считать, что он освоил эту тему?
Я изучил только 80% всех тем… Насколько я готов к экзамену?
Не обязательно проходить строго все темы до одной. Во-первых, потому что темы взаимосвязаны и наверняка какие-то приёмы вы освоили, не погружаясь в целевые темы. А во-вторых, реальный уровень владения планиметрией лучше всего проверять через диагностики. В некоторых сборниках они напечатаны. Ну и, конечно, для оценки своих знаний нужно пробовать решать планиметрические задачи с вариантов экзаменов прошлых лет.
Почему в списке опорных задач нет теорем Чевы и Менелая?
…или формулы Брахмагупты, или точки Микеля, или другого вашего любимого факта.
Многие из подобных опорных фактов чаще всего принадлежат не продвинутому, а экспертному уровню. Или переходному этапу между ними. То есть они активно применяются уже на другом уровне. Да и не обязательно знать название леммы о трезубце (эта конструкция была на ЕГЭ 2019 года), чтобы её доказать прямо на экзамене.
И, конечно, здесь есть субъективный выбор составителей пособий. Для некоторых фактов на определённом уровне важен конечный результат, а для некоторых — именно доказательство. Например, формула Герона. Её знать обязательно, а сам вывод — нет. А формулы Чевы и Менелая желательно уметь выводить. Причём не через векторы в одну строку, а по-старинке через подобие треугольников. Именно так вы скорее прокачаете лежащие в основе доказательства методы решения задач.
Кстати, по той же причине в качестве базовых в документе не отмечены чисто вычислительные задачи. То есть когда есть формула, например, биссектрисы, которая доказывается в начале, а потом во всех задачах раздела в неё по-разному подставляются числа.
Но как быть с теоремой косинусов? Её-то почему нет в списке?
Это факт действительно относится к продвинутому уровню и является ключевым для работы. Однако, авторы пособий не выделяют именно его в отдельную тему. Теорема косинусов у всех идёт в купе с другими фактами, которые объединены в большую тему «решение треугольников». Эта обобщённая тема является главным строительным материалом для всего продвинутого уровня. Будет несколько статей на эту тему, т.к. она очень важна для подготовки.
Почему в списке пособий нет Ткачука?
В вузоматических сборниках, вроде известного старшеклассникам «Математика — абитуриенту» (В.В.Ткачук), более широкая рамка тем для планиметрии. Они не так подходят для этапа проработки навыка решения задач, как специализированные геометрические сборники. Например, в Ткачуке задачи разделены на семь главных тем (две последние идут скорее как шлифовка), а в нашем файле базовых приёмов в четыре раза больше.
Вообще любой такой общий сборник для подготовки за счёт ограниченности места не позволяет детализировать планиметрию. Но это не значит, что ими не стоит пользоваться! Широкий охват может быть преимуществом. В методе базисных-опорных задач есть небольшая брешь. При освоении темы вы заранее точно знаете, какой метод будет использован в задачах. Это довольно существенная подсказка. На реальном экзамене вам никто не укажет, какой лучше применить приём. Нужно заранее научиться их отличать и выбирать правильный метод. Вот для этого походят различные сборники. В них, конечно, тоже есть рамка, но она достаточно широка: треугольник, четырехугольник, окружность, углы и пр. А уж надо ли удваивать там медиану или нет, вы должны догадаться сами. Это заставляет вас прикладывать больше усилий, вспоминать всё, что вы уже изучили по всей теме, и решать по ситуации.
Как готовиться на онлайн-платформах/на курсах/по видео моего любимого блогера?
К сожалению, далеко не все курсы по подготовке к поступлению грамотно проработаны с методической точки зрения. Часто это связано с тем, что их составляют люди, которые умеют хорошо решать задачи, но не думают о преподавании в более широком смысле. А с планиметрией вообще беда. Этот раздел почти всегда сделан на сдачу. Порой даже крупные компании и известные образовательные бренды не уделяют геометрии достаточного внимания. Вроде как надо для приличия иметь планиметрию в списке разбираемых тем, поэтому и делают её так, чтобы просто была. Такая ситуация связана и с объективными причинами. У школьников, даже у достаточно грамотных, очень разный уровень знания и понимания геометрии. Сложно придумать курс, который подойдёт для разноуровневых учеников. А для учеников с разными стартовыми позициями разрабатывать свои материалы очень накладно. В итоге работает прагматичный принцип: обучать решению тех задач, которые дадут больше баллов и которые школьникам будет проще усвоить. Осложняется эта ситуация тем, что хороших преподавателей-геометров сейчас всё меньше и меньше.
Однако, лично вы всё же можете обойти все эти ограничения.
Если у вас есть общее понимание вашей подготовки к планиметрии, вы можете легко понять, какие опорные факты вы проходите на курсах, и вписывать их в свою схему. Вам нужно лишь научиться видеть эту общую картину продвинутой планиметрии. За конкретными задачами разглядеть всю подготовку. За отдельными деревьями увидеть лес. Это позволит вам получать пользу практически от любых курсов, которые вы посещаете или смотрите. И даже научиться выбирать подходящие именно для вас.
Особенно обратите внимание на те видео, где вам не просто пересказывают решение задачи, а объясняют, как можно самому прийти к решению. Такого не хватает в сборниках, т.к. на бумаге сложно описать все нюансы рассуждений. Такой подача материала будет хорошим индикатором того, что перед вами качественные видео.
Я хорошо знаю школьную геометрию, но у меня не получается решить даже простые задачи продвинутого уровня…
До задач продвинутого уровня есть переходный этап к нему. На нём нужно научиться решать простые задачи в 2-3 действия. Для этого подойдут специализированные пособия вроде различных геометрий на готовых чертежах.
Если же и такие пособия сложно освоить, то это означает, что вам нужно вернуться к школьному этапу и предварительно полностью его изучить. Мы ещё поговорим как-нибудь про то, как изучать обычную школьную геометрию, если у вас с ней трудности с 7 класса и ранее.
Мне достаточно репетитора. Он меня подготовит.
Хороший репетитор — это большое подспорье для подготовки к планиметрической задаче. Особенно это помогает, когда у вас не поставлен навык последовательного доказательства. Другой человек может указать на ошибки и пробелы в рассуждениях.
Однако, нельзя отдавать подготовку полностью на откуп другому человеку, даже высококвалифицированному специалисту. ДЗ, например, он за вас делать не будет. Да и держать в голове всю структуру своей подготовки просто необходимо. Тогда вы действительно сможете начать прокачивать свой навык учёбы.
Почему выбраны именно эти пособия?
За основу брались те, которые в качестве основного используют принцип базовых задач. Где-то чуть он выражен чуть больше (Полонский), где то чуть меньше (Зеленский). В таблице указаны самые известные такие пособия. По мере изучения других подобных задачников, в файл могут добавляться ещё материалы. Пока это первая собранная версия.
Существуют ли другие подходы к подготовке?
Конечно. Подход с ключевыми задачи является самым распространённым и оптимальным для самоподготовки. Но есть и другие способы.
Например в сильных школах иногда делают иначе. Берут какой-нибудь большой геометрический факт и постепенно доказывают в нём всё по максимуму. Например, для окружности девяти точек и прямой Эйлера. Таким образом через небольшое количество подобных глубоких задач тренируются многие геометрические навыки. Плюсы такого подхода в том, что он помогает ещё и с олимпиадами, в которых часто встречаются эти конструкции. Минусы: меньше подходит для самостоятельного освоения и не ориентирован на вычислительные задачи с экзаменов. В итоге школьникам от экзаменационных задач «скучно» и «лень всё это считать», т.к. они перекормлены красивыми и эффектными решениями. И нужно отдельно учиться решать задачи не только эффектно, но и эффективно.
Есть ещё сборники, вроде курса Смирновой, где есть свой нестандартный подход к подготовке. Но они больше написаны для преподавателей и не подходят для самостоятельного изучения.
Ну и, конечно, некоторые учителя и репетиторы не придерживаются какой-то одной идеологии подготовки и делают свои комбинации из методов. Где-то немного задач на построение, где-то немного чертежей и конструкций в геогебре, где-то исследовательские задачи, где-то опорные. Но такая солянка при подготовке работает только под чутким руководством преподавателя, который в голове держит всю схему. Несмотря на кажущийся хаос из методов, грамотный преподаватель умело всё это собирать в действенную методику.
Как готовиться к геометрии экспертного уровня?
Если будет время, об этом мы ещё как-нибудь отдельно поговорим.