Есть красивая идея применения геометрической вероятности, когда случайное событие моделируют точкой на плоскости. Чтобы показать этот прием, все авторы дают одну и ту же задачу. Она кочует из учебника в учебник уже десятки лет, и лучше пока еще не придумали:
Пантелей с прекрасной Матильдой договариваются встретиться под часами так: каждый приходит в любой момент с полудня до часу и ждет 10 минут. Какова вероятность встречи?
У этой задачи есть плюс: ее условие формулируется на бытовом языке и хорошо переводится на язык математики. Есть и минус — все-таки условие выглядит неестественным: так в жизни никто не договаривается! А главное, экспериментом такое условие не проверишь...
В группе Незадача дня придумали модель практичнее. Она естественная, для нее нетрудно провести эксперимент даже в домашних условиях, а потому эта модель заслуживает места в школьном учебнике.
Имеется 3 одинаковых цилиндра, они независимо вращаются вокруг одной горизонтальной оси, длина окружности основания равна 4. Боковая поверхность цилиндра разделена на 4 одинаковые части, на каждой нарисовано по одной картинке. Если развернуть рулон, то будет видно, что высота каждой картинки равна 1.
Игра заключается в том, что все три цилиндра одновременно заставляют вращаться, а потом смотрят на картинки в момент остановки. Выигрышной считается комбинация, когда три одинаковых картинки расположились так, что у всех есть общая часть высотой не менее 1/2. Какова тогда вероятность выигрыша?
Решение Ильи Левицкого.
Допустим, после запуска цилиндров они остановились в случайные моменты; на каждом видны картинки. Положение верха самой левой видимой картинки возьмем за начало координат, положение верха такой же центральной картинки (она не обязательно видна) обозначим буквой х, а правой – буквой y.
Тогда переменные x и y меняются в промежутке от -2 до 2. Чтобы у картинок была общая часть хотя бы на половину высоты, должны выполняться такие условия:
|x|<1/2, |y|<1/2, |x-y|<1/2.
При таких обозначениях любому возможному положению цилиндров соответствует точка в голубом квадрате; а выигрышу – точка в желтом шестиугольнике. Площадь первого равна 16, а площадь второго – 3/4. Поэтому вероятность выигрыша равна 3/64.
Именно этот прием работает и для задачки про Пантелея с Матильдой. Если она все равно кажется сложной, можно попробовать решить другую, попроще:
У Корня есть три таких цилиндра с картинками, и теперь он предлагает сыграть всем желающим. За выигрыш он обещает приз 10 рублей. Какую сумму справедливо уплатить за участие в этой игре?