Докажите, что если a[1]=1,
a[n+1]=a[n]/2+1/a[n], n>=1,
то 0<a[10]-sqrt(2)<10^(-333),
где sqrt(2) означает квадратный корень из 2.
Говорят, что последовательность a[n+1]=a[n]/2+1/a[n] вавилоняне использовали для приближённого вычисления числа sqrt(2), т.е. для вычисления длины диагонали квадрата со стороной 1.
То, что a[n+1]-sqrt(2)>0 почти очевидно, потому что по неравенству о средних
a[n+1]=1/2*(a[n]+2/a[n])>=sqrt(a[n]*(2/a[n]))=sqrt(2).
Равенства же не может быть, потому что числа в последовательности рациональные, а sqrt(2), как известно, что иррациональное.
Теперь рассмотрим последовательность b[n]=a[n]-sqrt(2). Имеем
b[n+1]=a[n+1]-sqrt(2)=(a[n]^2-2sqrt(2)a[n]+2)/(2a[n])=
=(a[n]-sqrt(2))^2/(2a[n])=b[n]^2/(2a[n])<b[n]^2/(2sqrt(2)),
т.е. b[n+1]<b[2]^2/(2^(3/2)).
Теперь оценим b[2]:
b[2]=a[2]-sqrt(2)=3/2-sqrt(2)=(3-2sqrt(2))/2=1/(2(3+2sqrt(2)))<1/8sqrt(2),
так как 3>2sqrt(2).
Итак, b[2]<2^(-7/2).
Оценим теперь следующие члены последовательности:
b[3]<b[2]^2/2^(3/2)<2^(-17/2);
b[4]<b[3]^2/2^(3/2)<2^(-37/2);
b[5]<b[4]^2/2^(3/2)<2^(-77/2);
b[6]<b[5]^2/2^(3/2)<2^(-157/2);
b[7]<b[6]^2/2^(3/2)<2^(-317/2);
b[8]<b[7]^2/2^(3/2)<2^(-637/2);
b[9]<b[8]^2/2^(3/2)<2^(-1277/2);
b[10]<b[9]^2/2^(3/2)<2^(-2557/2).
Оценим теперь 2^(2557/2), используя то, что 2^10>10^3:
2^(2557/2)>2^1270>10^(127*3)=10^381.
Следовательно, b[10]<10^(-381).