Докажите, что (a–b)(b–c)(c–a) = 1. Задача была предложена на польской олимпиаде для юниоров в 2017/2018 учебном году и на 53 Уральском турнире юных математиков. Для начала заметим, что a+b+c=0. Действительно, если мы сложим три уравнения, то получим
a+b+c+a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2. Отсюда следует, что
a=-(b+c);
b=-(a+c);
c=-(a+b).
Следовательно,
abc=-(a+b)(b+c)(a+b).
С другой стороны, из системы следует, что
a=b^2-a^2=(b-a)(b+a);
b=c^2-b^2=(c-b)(c+b);
c=a^2-c^2=(a-c)(a+c).
Значит,
abc=(b-a)(b+a)(c-b)(c+b)(a-c)(a+c).
Поделив одно выражения для abc на другое, получаем требуемое равенство.