Всем привет!
В ожидании ясности с олимпиадой этого года (на самом деле, вчера ясность наступила...), разбираем геометрические задачи всероссийской олимпиады прошлого года. Сегодня изучаем задачу, которая во второй день предлагалась и в 9-ом, и в 11-ом классе под номером 6. Задача не показалась мне шедевром, поэтому мне немного удивительным кажется такое дублирование.
Напоминаю, что следить за публикациями можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Кроме того, теперь можно следить за ними и в сообществе вконтакте. Все геометрические задачи всероссийской олимпиады прошлого года можно посмотреть тут.
Но давайте посмотрим на условие.
Ну первое, что мне захотелось в задаче сделать — переконфигурировать каким-то более естественным образом синие углы, дабы получить более естественное условие. Это можно легко сделать, достроив треугольник DAT до параллелограмма. Действительно, если A' — точка, симметричная вершине A относительно точки M, то надо доказывать равенство углов AA'T и AKT, что равносильно вписанности четырехугольника ATA'K, а это доказывать куда приятнее.
Кроме того, если окружность, описанная около треугольника BCD пересекает сторону AB в точке E, то точки E, D и A' лежат на одной прямой, параллельной BC. Более того, трапеция EATA' является равнобокой, то есть достаточно доказывать вписанность четырехугольника AEKT. Это уже совсем очевидное утверждение.
Можно отметить равные углы, а можно по-умному сказать, что раз BC и KE антипараллельны относительно угла, образованного прямыми AB и KC, а прямые BC и AT параллельны, то и прямые AT и KE антипараллельны относительно того же угла. Следовательно точки A, Е, K и T лежат на одной окружности — этого мы и хотели.