Всем привет!
Сегодня разбираем первую из двух геометрических задач всероссийской олимпиады по математике 9-го класса прошлого года. Она была на олимпиаде под номером 3, но на мой взгляд была простовата, потому что попросту опиралась на стандартную картинку, знание которой является базовым для всех девятиклассников, претендующих на призовые места...
Напомню, что освежить условия геометрических задач прошлогодней олимпиады можно тут. Следить за публикациями можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Кроме того, теперь можно следить за ними и в сообществе вконтакте.
Факты, которыми я буду пользоваться изложены вот в этой моей публикации (свойства 2 и 3).
Наблюдение первое: AHCD — четырехугольник, вписанный в окружность симметричную Ω относительно стороны AC.
Наблюдение второе: если через точку D провести прямую, перпендикулярную AC, то она пересечет окружность Ω в точке X — ортоцентре треугольника ACD.
Наблюдение третье: отрезки BH и DX окажутся равны и параллельны! Потому что расстояние от вершины до ортоцентра однозначно определяется углом и стороной.
Наблюдение четвертое: если отразить X относительно OD, то полученная точка E' будет лежать на окружности Ω, E'D=XD=HB и ∠E'DO=∠XDO=∠HBO. Следовательно, E'HBD является равнобокой трапецией и E'=E!