Сам термин "штурмовая винтовка" распространен в западных странах и является чем-то типа народного названия. В оружейной классификации стран НАТО такого термина нет. Распространился он после Второй Мировой войны от немецкой StG 44 - Sturmgewehr, что дословно и переводится, как "штурмовая винтовка".
Возможно, термин прижился бы и у нас, только к тому времени в СССР уже любое ручное автоматическое стрелковое оружие называли автоматами.
По сути, изначально разница между терминами заключалась в том, что штурмовой винтовкой называли автоматическое оружие под промежуточный патрон, а автоматом любое автоматическое. Правда, с появлением автомата Калашникова, и термин автомат стал больше ассоциироваться именно с автоматическим оружием под промежуточный патрон.
Хотя, к примеру, ГОСТ 28653-2018 "Оружие стрелковое. Термины и определения" утверждает, что пистолет-пулемет тоже является автоматом:
Пистолет-пулемет: Автомат, конструкцией которого предусмотрена стрельба пистолетными патронами.
А сам автомат он классифицирует как автоматический карабин.
Во многом, распространению термина "штурмовая винтовка" на западе поспособствовало появление базы AR-10, а позже и AR-15. Эти названия многие трактовали как "assault rifle" (штурмовая винтовка), хотя они расшифровываются как "automatic rifle" (автоматическая винтовка).
Если подытожить все, то получаем следующее:
Автомат - термин, используемый, в основном, в постсоветских странах. Обозначает любое ручное автоматическое стрелковое оружие, хоть и ассоциируется больше всего с вооружением под промежуточный патрон.
Штурмовая винтовка - распространенное в западных странах понятие, обозначающее ручное автоматическое стрелковое оружие под промежуточный патрон. Хотя, насчет патрона есть и исключения, та же AR-10 или FN Fal использовали винтовочный калибр, но их, все равно, именовали штурмовыми винтовками.