Некоторые группы в соцсетях почти полностью состоят из однообразных якобы полезных материалов по математике. Обычно это по-разному скомпилированные одни и те же картинки, которые повторяются с месячной, а то и еженедельной, периодичностью. Давайте изучим типичный такой пост с формулами. И посмотрим насколько эти картинки на самом деле бесполезны в подготовке к экзаменам.
*********
Ниже картинка с постом. Материалы позиционируются как крутые конспекты для помощи абитуриентам. В них перечислены формулы для площади фигур, которые, видимо, следует запомнить?. Можете пока, не читая статью, перейти по ссылке, предварительно ознакомиться c ними и составить собственное мнение.
Не будем обращать внимания на качество съемки, помарки, разрешение картинки и проч. Нас интересуют только логика выбранных формул.
Рассмотрим каждую из них по отдельности.
Начинается всё довольно неплохо. На первой странице с формулами для треугольников больше половины действительно надо знать наизусть.
1a1. Произвольный треугольник
Это основная формула для площади треугольника. Она легко доказывается через площадь параллелограмма, а та в свою очередь вычисляется через площадь прямоугольника. Несмотря на это её надо знать наизусть, а не пытаться самостоятельно выводить.
1a2.
Эту формулу тоже надо знать наизусть. Но есть послабления. Её не так страшно забыть, как предыдущую. Важно помнить, что она есть и легко выводится. То есть что существует такая формула для площади треугольника, использующая стороны и синус угла между ними. И после осознания этого мгновенно вспоминать её вывод, проведя высоту к основанию. Ниже будет похожа ситуация с формулой для площади параллелограмма. Однако, эта формула для треугольника чаще бывает опорной для разных задач, поэтому лучше сразу её хорошо запомнить.
1a3.
Формула Герона. Её нужно просто знать. Для математических классов хорошей задачей может быть её вывод, но он довольно трудоёмкий, поэтому формулу лучше сразу выучить. И, конечно, само собой надо знать, что такое полупериметр без отдельного выписывания.
1а4.
Нужно знать. Её вывод знать желательно, но незнание не является совсем критичным. Скорее важно осознание связи площади, полупериметра и радиуса вписанной окружности.
1а5.
Формулу учить не следует. В качестве несложного упражнения на доказательство её можно дать, но отдельно учить нет смысла. Несмотря на то, что она связывает площадь, стороны и радиус описанной окружности, на практике она не столь востребована как предыдущая формула. Гораздо чаще используется не она, а прямые вычисления для площади и потом теорема синусов.
1б1. Прямоугольный треугольник
Несмотря на то, что формула может быть воспринята как прямое следствие формулы 1a1 или даже 1а2, её всё же надо знать наизусть. То, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, можно объяснить и ученику, который только разобрался с площадью прямоугольника. Тем более иногда эту формулу забывают, пугаясь того, что высота совпала с катетом.
1б2.
Знать не надо. Подойдёт лишь в качестве отдельной хорошей задачи. В качестве вспомогательной полезной боевой единицы не используется.
1б3.
Бесполезная формула. Если известны два катета, то для площади достаточно взять половину их произведения. А здесь надо ещё находить гипотенузу, потом вычислять полупериметр...
1в-1г. Равнобедренный и равносторонний треугольник
Все формулы выводятся за несколько однотипных элементарных действий. Хорошая разминка, чтобы потренировать себя в решении треугольников на примере частных случаев. Заодно повторить указанные выше формулы для произвольного треугольника и некоторые их свойства.
2.1. Параллелограмм
Важная формула. Знать обязательно. Хоть она и выводится элементарно.
2.2.
Снова, как и выше для треугольника, мы заменяем высоту на произведение гипотенузы и синуса угла. Однако, здесь эту формулу вообще не смысла запоминать. На практике проще в самой задаче найти высоту и потом применить формулу 2.1.
2.3.
Формулу нужно знать, но не как особенную для параллелограмма. Она работает для любого выпуклого четырёхугольника. Её доказательство помнить не обязательно. Однако, в качестве задачи сойдёт.
3.1. Ромб
Отдельная формула не нужна. Ромб — это частный случай параллелограмма, поэтому достаточно знать формулу для площади параллелограмма.
3.2.
А эту формулу знать надо. Даже если она хорошо выводится из перпендикулярности диагоналей ромба. Конечно, её можно считать и следствием формулы 2.3., но к моменту знакомства с этой общей формулой, частный случай для ромба надо знать твёрдо.
3.3.
Отдельно знать не нужно. Является элементарным следствие формулы 1а2. Для этого надо просто провести диагональ, которая соединяет левую и правую вершину.
3.4.
Не используется отдельно. Подходит в качестве лёгкой задачи.
3.5.
Аналогично предыдущей ситуации. На практике не используется.
4.1. Прямоугольник
Обычно это знают с начальной школы. Не стоит отдельного выписывания.
4.2.
Вот здесь по желанию. Допускаю пул задач, из-за которых проще запомнить эту формулу. Но можно и вывести через равенство диагоналей и похожую обобщенную формулу для четырёхугольника.
5.1. Квадрат
Формулу площади квадрата через сторону знают с начальной школы. Площадь через диагонали запоминать не нужно. Нужно через неё находить сторону и уже потом через сторону искать площадь.
6.1. Трапеция
Знать твёрдо. Вывод не критичен, хотя для себя полезно вспомнить.
6.2.
А это запоминать не нужно. Достаточно знать, что длина средней линии равна полусумме оснований.
6.3.
Вредная монструозная формула, только забивающая вашу память. Если у вас есть трапеция, в которой известны стороны, то её площадь можно найти разными путями через решение соответствующих треугольников и правила работы с трапециями.
6.4.
Снова достaточно обобщённой формулы, подходящей для любого четырёхугольника. А здесь ещё и нет никаких бонусов для трапеции в виде какой-нибудь простой записи.
6.5.
Лишняя формула. Лучше попробовать её вывести, чем записывать и учить. На практике не применяется.
7.1. Произвольный четырёхугольник
Вот та самая формула площади для произвольного четырёхугольника, выраженной через диагонали и синус угла между ними.
8. Правильный шестиугольник
Вывод формул подходит в качестве лёгкой разминки. Достаточно провести диагонали, разбивающие его на шесть равносторонних треугольников. Запоминать формулы не надо.
9. Круг
Для круга нужно знать формулу площади через радиус. Аналогичная формула через диаметр лишняя, т.к. легко из неё следует.
10. Эллипс
Для школьной математики эта формула лишняя.
11. Сектор круга
Формулы для площади сектора учить не нужно. Достаточно понимать, что сектор - это некая доля круга. И после этого считать её площадь через соответствующую долю от площади круга.
12. Сегмент круга
Знать не нужно. Достаточно понимать, что это сегмент минус соответствующий треугольник и уметь вычислять их площади.
13. Кольцо и его сектор
Знать не нужно. Достаточно понимать, что это большой круг минус маленький круг. Или их части.
*********
Итог: из перечисленных почти 50 формул смело можно выкинуть около 35, т.к. они достаточно легко выводятся в один-два шага. Сразу оговорюсь, что каких-либо замечаний к саму автору конспекта быть не может. Она скорее всего делала это для себя, возможно просто переписывала из каких-то сборников и вряд ли думала над методикой подготовки к экзаменам. Но вот те, кто это постит, кажется, не задумываются о качестве материалов. А те, кто забирает это к себе, видимо, вообще не понимают, зачем это делают.
Про сам феномен таких списков формул и постов в соцсетях ещё поговорим отдельно. Это больше связано не с математикой, а с психологией подготовки к экзаменам