16-17 апреля прошла очередная Европейская олимпиада девочек по математике (EGMO). Она должна была состояться в Нидерландах, но в нынешней ситуации девочки писали из дома.
Россию представляли 11-классница Елизавета Неустроева (Москва) и 10-классницы Таисия Коротченко (Санкт-Петербург), Розалия Миргалимова, Ралина Юсупова (обе - Казань).
Розалина, Елизавета и Таисия решили пять задач из шести, вошли в десятку, завоевав, тем самым, золотые медали. Ралина получила серебряную медаль. В общекомандном зачёте (сумма баллов участниц) Россия заняла первое место.
Интересно, что одна из тренеров Елизаветы, преподаватель кружка в московском Центре педагогического мастерства в параллели 11-х классов, Мария Юрьевна Дмитриева, сама два раза участвовала в EGMO, и оба раза получала золотую медаль.
В прошлом году олимпиада проходила в Киеве, и российская команда не смогла принять в ней участие, потому что организаторы отправили письмо, в котором не гарантировали безопасность участниц.
Предлагаю две задачи про последовательности, которые решали участницы олимпиады.
Задача 1. Целые положительные числа a[0], a[1], a[2], ... , a[3030] таковы, что
2a[n+2] = a[n+1] + 4a[n] при всех n = 0, 1, 2, . . . , 3028.
Докажите, что хотя бы одно из чисел a[0], a[1], a[2], ... , a[3030] делится на 2^2020.
Задача 6. Пусть m > 1 — целое число. Последовательность a[1], a[2], a[3], ... задана равенствами
a[1] = a[2] = 1, a[3] = 4,
а для всех n > 4:
a[n] = m(a[n−1] + a[n−2]) − a[n−3].
Найдите все целые m такие, что каждый член последовательности является точным квадратом.